Figury płaskie

1 Kąty

• Kąty przyległe mają wspólne jedno ramię, a pozostałe ramiona tworzą prostą. Ich suma to zawsze 180°.
• Kąty wierzchołkowe powstają, gdy przecinają się dwie proste – leżą naprzeciw siebie i są równe.

Gdy dwie proste równoległe przetniemy trzecią prostą, powstaje osiem kątów, ale tylko dwie różne miary: α i β, przy czym

• Kąty odpowiadające (w „tym samym miejscu” przy obu prostych) są równe.
• Kąty naprzemianległe (po przeciwnych stronach trzeciej prostej, między prostymi równoległymi) są równe.

Na egzaminie: wystarczy znaleźć jeden kąt – każdy inny na rysunku jest mu równy albo dopełnia go do 180°. Kąty ostre są sobie równe, rozwarte też.

2 Trójkąty i czworokąty

Suma kątów wewnętrznych:

Najważniejsze czworokąty i ich własności:

Pamiętaj: kwadrat jest jednocześnie prostokątem i rombem, a każdy z nich jest równoległobokiem. Dlatego wszystko, co wiesz o równoległoboku, działa też w kwadracie.

3 Pola i obwody

Obwód to suma długości wszystkich boków (w cm, m…). Pole mówi, ile miejsca zajmuje figura (w cm², m²…). Oznaczenia: a, b – boki, h – wysokość, e, f – przekątne.

Na egzaminie ósmoklasisty nie ma karty wzorów – te wzory trzeba znać na pamięć. Pole trójkąta prostokątnego to połowa iloczynu przyprostokątnych, bo jedna przyprostokątna jest wysokością opuszczoną na drugą.

Jednostki pola – każdy „kwadracik” ma bok 10 razy większy, więc pole 100 razy większe:

Typowe błędy:

• mylenie obwodu z polem – obwód dodajemy, pole mnożymy; obwód ma jednostkę „zwykłą” (cm), pole „kwadratową” (cm²);
• mnożenie długości w różnych jednostkach (np. metrów przez centymetry) – najpierw zamień na tę samą jednostkę;
• „1 m² = 100 cm²” – nieprawda, jest ich 10 000;
• zapominanie o ½ we wzorach na pole trójkąta, rombu i trapezu.

4 Twierdzenie Pitagorasa – pobaw się

W trójkącie prostokątnym boki przy kącie prostym to przyprostokątne a i b, a najdłuższy bok (naprzeciw kąta prostego) to przeciwprostokątna c.

Na rysunku: pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej jest równe sumie pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych. Przesuwaj suwaki i policz kratki. Drugi tryb liczy pola i obwody innych figur.

Twierdzenie odwrotne: jeśli w trójkącie o bokach a, b, c (c – najdłuższy) zachodzi a² + b² = c², to trójkąt jest prostokątny. Tak sprawdzisz, czy trójkąt o danych bokach jest prostokątny, np. dla boków 6, 8, 10:

a dla boków 4, 5, 6 już nie:

Warto pamiętać trójki pitagorejskie: 3, 4, 5 · 6, 8, 10 · 5, 12, 13 · 8, 15, 17. Oszczędzają czas na egzaminie. Uwaga: gdy szukasz przyprostokątnej, odejmujesz: a² = c² − b².

5 Przekątna kwadratu i trójkąt równoboczny

Przekątna kwadratu o boku a dzieli go na dwa trójkąty o kątach 45°, 45°, 90°. Z Pitagorasa:

Wysokość trójkąta równobocznego o boku a dzieli go na dwa trójkąty o kątach 30°, 60°, 90° – z przyprostokątną a/2 i przeciwprostokątną a. Z Pitagorasa:

Na przykład dla kwadratu o boku 5 cm i trójkąta równobocznego o boku 6 cm:

Trójkąt 30°–60°–90°: przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta 30° jest dwa razy krótsza od przeciwprostokątnej (to połowa boku trójkąta równobocznego). W trójkącie 45°–45°–90° przyprostokątne są równe, a przeciwprostokątna jest √2 razy dłuższa.

6 Koło i okrąg

Okrąg to sama „linia” – brzeg. Koło to okrąg razem z wnętrzem. Promień r łączy środek z punktem okręgu, a średnica jest dwa razy dłuższa:

Liczba π ≈ 3,14. Dla koła o promieniu 3 cm:

Typowe błędy:

• wstawianie średnicy zamiast promienia – gdy zadanie podaje średnicę 10 cm, to r = 5 cm;
• liczenie πr² jako (πr)² – do kwadratu podnosimy tylko r;
• mylenie obwodu okręgu (2πr) z polem koła (πr²).

Na egzaminie: jeśli polecenie nie każe przybliżać, zostaw wynik z π (np. 9π cm²) – to wynik dokładny. Gdy trzeba przybliżyć, przyjmij π ≈ 3,14, chyba że zadanie podaje inaczej (np. π ≈ 3).

7 Sprawdź się