Lekcja · egzamin ósmoklasisty

Figury przestrzenne

Graniastosłupy i ostrosłupy: ile mają krawędzi, jak wygląda ich siatka, jak policzyć pole powierzchni, objętość i przekątną – i ile litrów wody zmieści się w akwarium. Około 20 minut.

  1. Graniastosłupy i ostrosłupy
  2. Wierzchołki, krawędzie, ściany
  3. Siatka i pole powierzchni
  4. Prostopadłościan – pobaw się
  5. Objętość
  6. Przekątna prostopadłościanu
  7. Litry, dm³ i typowe błędy
  8. Sprawdź się

1 Graniastosłupy i ostrosłupy

Graniastosłup ma dwie jednakowe, równoległe podstawy (wielokąty), a jego ściany boczne to równoległoboki. Na egzaminie prawie zawsze chodzi o graniastosłup prosty – taki, w którym ściany boczne są prostokątami, a wysokość bryły H to długość krawędzi bocznej.

  • Graniastosłup prawidłowy – prosty, a w podstawie ma wielokąt foremny (trójkąt równoboczny, kwadrat, sześciokąt foremny).
  • Prostopadłościan – wszystkie 6 ścian to prostokąty; ma trzy wymiary: a, b, c.
  • Sześcian – prostopadłościan, którego wszystkie ściany są kwadratami; wszystkie 12 krawędzi ma jednakowych.

Ostrosłup ma jedną podstawę (wielokąt) i wierzchołek, w którym schodzą się wszystkie ściany boczne – trójkąty. Wysokość ostrosłupa H to odcinek od wierzchołka prostopadły do podstawy. W ostrosłupie prawidłowym podstawa jest wielokątem foremnym, a wszystkie ściany boczne są jednakowymi trójkątami równoramiennymi.

Uwaga na egzaminie: nazwa bryły mówi, co jest w podstawie. „Graniastosłup prawidłowy czworokątny” ma w podstawie kwadrat, a „ostrosłup prawidłowy trójkątny” – trójkąt równoboczny.

2 Wierzchołki, krawędzie, ściany

Wszystko zależy od liczby n – liczby boków podstawy (w graniastosłupie sześciokątnym n = 6). W tabeli – graniastosłup i ostrosłup n-kątny:

graniastosłupostrosłup
wierzchołki2nn + 1
krawędzie3n2n
ścianyn + 2n + 1

Skąd to się bierze? Graniastosłup ma dwie podstawy po n wierzchołków, a krawędzie to n w dolnej podstawie, n w górnej i n bocznych. Ostrosłup ma n wierzchołków podstawy i jeden na górze, a krawędzie to n w podstawie i n bocznych. Dla graniastosłupa sześciokątnego:

wierzchołki: 2 · 6 = 12 krawędzie: 3 · 6 = 18 ściany: 6 + 2 = 8

Na egzaminie często dostajesz liczbę krawędzi i masz ustalić, jaka to bryła. Graniastosłup ma 15 krawędzi, więc

3n = 15 n = 5

– to graniastosłup pięciokątny. Jeśli wynik nie jest liczbą całkowitą, taki graniastosłup nie istnieje (np. nie ma graniastosłupa o 20 krawędziach).

3 Siatka i pole powierzchni

Siatka bryły to wszystkie jej ściany rozłożone na płaszczyźnie – jak rozcięte i rozprostowane pudełko. Pole powierzchni (pole całkowite) to suma pól wszystkich ścian, czyli pole siatki.

graniastosłupPc = 2 · Pp + Pb
ostrosłupPc = Pp + Pb

Pp – pole podstawy, Pb – pole powierzchni bocznej (suma pól ścian bocznych). Graniastosłup ma dwie podstawy, ostrosłup – jedną. Dla prostopadłościanu o wymiarach a, b, c są trzy pary jednakowych prostokątów:

Pc = 2(ab + bc + ac)

Sześcian ma 6 jednakowych kwadratów, więc jego pole to

Pc = 6a²
Przykład 1. Oblicz pole powierzchni ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego krawędź podstawy ma 6 cm, a wysokość ściany bocznej – 5 cm.
  1. W podstawie jest kwadrat o boku 6 cm:Pp = 6 · 6 = 36 cm²
  2. Ściana boczna to trójkąt o podstawie 6 cm i wysokości 5 cm:½ · 6 · 5 = 15 cm²
  3. Ścian bocznych są 4, wszystkie jednakowe:Pb = 4 · 15 = 60 cm²
  4. Podstawa jest tylko jedna:Pc = 36 + 60 = 96 cm²

4 Prostopadłościan – pobaw się

Zmieniaj wymiary suwakami (w cm). Włącz siatkę, żeby zobaczyć, z jakich 6 prostokątów składa się powierzchnia. W trybie ostrosłupa zobaczysz, skąd bierze się ⅓ we wzorze na objętość.

5 Objętość

Objętość mówi, ile miejsca zajmuje bryła – ile sześcianików 1 cm × 1 cm × 1 cm by się w niej zmieściło. Mierzymy ją w cm³, dm³, m³.

graniastosłupV = Pp · H
ostrosłupV = ⅓ · Pp · H

Dla prostopadłościanu i sześcianu:

V = a · b · c V = a³

Ostrosłup o tej samej podstawie i wysokości co graniastosłup ma trzy razy mniejszą objętość – stąd ⅓. Sześcian można nawet rozciąć na 3 jednakowe ostrosłupy o podstawie równej ścianie sześcianu.

Przykład 2. Oblicz objętość ostrosłupa z przykładu 1 (krawędź podstawy 6 cm, wysokość ściany bocznej 5 cm).
  1. Brakuje wysokości bryły H. Widać ją w trójkącie prostokątnym: H, połowa krawędzi podstawy i wysokość ściany bocznej (przeciwprostokątna). Połowa krawędzi:6 : 2 = 3 cm
  2. Z twierdzenia Pitagorasa:H² + 3² = 5²H² = 25 − 9 = 16H = 4 cm
  3. Pole podstawy znamy z przykładu 1:Pp = 36 cm²
  4. Wstawiamy do wzoru – nie zapominamy o ⅓:V = ⅓ · 36 · 4 = 12 · 4 = 48 cm³

Uwaga na egzaminie: nie myl wysokości ostrosłupa H (od wierzchołka do środka podstawy) z wysokością ściany bocznej h (na ścianie, od wierzchołka do środka krawędzi podstawy). Do objętości potrzebne jest H, do pola ścian – h.

6 Przekątna prostopadłościanu

Przekątna prostopadłościanu łączy dwa wierzchołki, które nie leżą na jednej ścianie – biegnie „przez środek” bryły. Liczymy ją dwa razy z twierdzenia Pitagorasa: najpierw przekątną podstawy, potem przekątną bryły.

d = √(a² + b² + c²)

Na przykład dla prostopadłościanu o wymiarach 2 cm, 3 cm i 6 cm:

d² = 2² + 3² + 6² = 4 + 9 + 36 = 49 d = 7 cm

W sześcianie o krawędzi a przekątna ściany (kwadratu) i przekątna całego sześcianu to:

przekątna ściany: a√2 przekątna sześcianu: a√3

Uwaga: przekątna ściany i przekątna bryły to różne odcinki. Jeśli w zadaniu jest „przekątna prostopadłościanu”, chodzi o tę przechodzącą przez wnętrze – najdłuższy odcinek w bryle.

7 Litry, dm³ i typowe błędy

Pojemność naczyń podajemy w litrach. Najważniejsze zamiany:

1 l = 1 dm³  ·  1 ml = 1 cm³
1 dm³ = 10 cm · 10 cm · 10 cm = 1000 cm³ 1 m³ = 1000 dm³ = 1000 l

Najwygodniej zamienić wymiary na decymetry – wtedy objętość wychodzi od razu w litrach.

Przykład 3. Akwarium ma kształt prostopadłościanu o wymiarach 60 cm × 30 cm × 40 cm (40 cm to wysokość). Ile litrów wody mieści? Ile litrów wlano, jeśli woda sięga do wysokości 35 cm?
  1. Zamieniamy wymiary na decymetry (10 cm = 1 dm):60 cm = 6 dm, 30 cm = 3 dm, 40 cm = 4 dm
  2. Objętość całego akwarium:V = 6 · 3 · 4 = 72 dm³ = 72 l
  3. Woda tworzy prostopadłościan o tej samej podstawie i wysokości 35 cm = 3,5 dm:6 · 3 · 3,5 = 18 · 3,5 = 63 dm³ = 63 l
  4. Sprawdzenie w centymetrach sześciennych:60 · 30 · 35 = 63 000 cm³ = 63 l ✓

Najczęstsze błędy:

  • Zapomniane ⅓ w objętości ostrosłupa. Graniastosłup: Pp · H, ostrosłup: ⅓ · Pp · H.
  • Jedna podstawa zamiast dwóch w polu graniastosłupa (albo dwie w ostrosłupie).
  • Złe zamiany jednostek. 1 dm = 10 cm, ale 1 dm³ = 1000 cm³, a nie 10 cm³. Przed liczeniem sprowadź wszystkie wymiary do jednej jednostki.
  • Pole zamiast objętości. Pole to cm² (ile papieru na pudełko), objętość to cm³ (ile zmieści się w środku).
  • H zamiast h (albo odwrotnie) w ostrosłupie – patrz uwaga w sekcji 5.

8 Sprawdź się

Przećwicz na zadaniach z egzaminów

W banku są zadania CKE i warianty Matmoo z działu Figury przestrzenne – z podpowiedziami i rozwiązaniami.

Powtórz dział „Figury przestrzenne” (E8) Otwórz bank zadań