Lekcja · egzamin ósmoklasisty

Liczby naturalne i całkowite

Zapis dziesiętny i rzymski, cechy podzielności, liczby pierwsze, NWD i NWW, liczby ujemne i kolejność działań – wszystko, co trzeba umieć na egzaminie. Około 20 minut.

  1. System dziesiętny i rzymski
  2. Cechy podzielności
  3. Liczby pierwsze i rozkład
  4. Rozłóż liczbę – pobaw się
  5. NWD i NWW
  6. Liczby całkowite i działania
  7. Typowe błędy
  8. Sprawdź się

1 System dziesiętny i rzymski

Na co dzień używamy systemu dziesiętnego pozycyjnego: wartość cyfry zależy od miejsca, na którym stoi. Ta sama cyfra 3 w liczbie 35 oznacza 30, a w liczbie 305 oznacza 300. Liczbę możemy rozpisać według rzędów (tysiące, setki, dziesiątki, jedności):

4207 = 4 · 1000 + 2 · 100 + 0 · 10 + 7

W systemie rzymskim liczby zapisujemy siedmioma znakami:

IVXLCDM
1510501005001000
  • Znak mniejszy stojący za większym dodajemy:VI = 5 + 1 = 6LX = 50 + 10 = 60
  • Znak mniejszy stojący przed większym odejmujemy – ale tylko w sześciu parach:IV = 4, IX = 9, XL = 40, XC = 90, CD = 400, CM = 900
  • Znaki I, X, C, M mogą stać obok siebie najwyżej trzy razy (III = 3, ale 4 to IV, a nie IIII). Znaków V, L, D nie powtarzamy.
Przykład 1. Zapisz liczbę 1649 w systemie rzymskim.
  1. Rozkładamy liczbę na tysiące, setki, dziesiątki i jedności:1649 = 1000 + 600 + 40 + 9
  2. Tysiąc to M, a 600 = 500 + 100, więc:1000 = M600 = DC
  3. 40 i 9 to pary „z odejmowaniem”:40 = XL9 = IX
  4. Łączymy wszystko po kolei:1649 = MDCXLIXSprawdzenie:1000 + 500 + 100 + 40 + 9 = 1649 ✓

2 Cechy podzielności

Liczba a jest podzielna przez b, gdy dzieli się przez b bez reszty. Nie trzeba dzielić pisemnie – wystarczą cechy podzielności:

przezliczba dzieli się, gdy…przykład
2ostatnia cyfra jest parzysta (0, 2, 4, 6, 8)358
3suma cyfr dzieli się przez 3471
4 + 7 + 1 = 12
4liczba z dwóch ostatnich cyfr dzieli się przez 41316
16 = 4 · 4
5ostatnia cyfra to 0 lub 5845
9suma cyfr dzieli się przez 9738
7 + 3 + 8 = 18
10ostatnia cyfra to 02130

Cechy można łączyć. Liczba dzieli się przez 6, gdy dzieli się jednocześnie przez 2 i przez 3. Na przykład 474 jest parzysta i ma sumę cyfr 15, więc:

474 : 6 = 79

Uwaga na egzaminie: każda liczba podzielna przez 9 dzieli się też przez 3, ale nie odwrotnie. Liczba 12 dzieli się przez 3, a przez 9 już nie. Podobnie z 4 i 2: 6 dzieli się przez 2, ale nie przez 4.

3 Liczby pierwsze i rozkład na czynniki

Liczba pierwsza to liczba naturalna, która ma dokładnie dwa dzielniki: 1 i samą siebie. Liczba złożona ma więcej niż dwa dzielniki. Liczby pierwsze mniejsze od 50:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47
  • 1 nie jest ani pierwsza, ani złożona (ma tylko jeden dzielnik).
  • 2 to jedyna parzysta liczba pierwsza.

Każdą liczbę złożoną można zapisać jako iloczyn liczb pierwszych – to rozkład na czynniki pierwsze. Dzielimy liczbę przez najmniejszą liczbę pierwszą, przez którą się dzieli, potem wynik – i tak aż do 1. Dla liczby 84:

84 : 2 = 42 42 : 2 = 21 21 : 3 = 7 7 : 7 = 1

Czynniki zbieramy razem (powtarzające się można zapisać jako potęgę):

84 = 2 · 2 · 3 · 7 = 2² · 3 · 7

Jak sprawdzić, czy liczba jest pierwsza? Próbuj dzielić ją przez kolejne liczby pierwsze 2, 3, 5, 7, … Wystarczy dojść do takiej liczby p, dla której p · p jest już większe od sprawdzanej liczby. Dla 97 sprawdzamy 2, 3, 5, 7 (bo 11 · 11 = 121 > 97) – żadna nie dzieli 97, więc 97 jest pierwsza.

4 Rozłóż liczbę – pobaw się

Wybierz liczbę suwakiem albo przyciskami − i +. Zobaczysz jej „ścieżkę dzielenia”, rozkład na czynniki pierwsze i cechy podzielności z uzasadnieniem.

ścieżka dzielenia

5 NWD i NWW

  • NWD(a, b) – największy wspólny dzielnik: największa liczba, przez którą dzielą się obie liczby.
  • NWW(a, b) – najmniejsza wspólna wielokrotność: najmniejsza liczba (większa od 0), która dzieli się przez obie liczby.

Najpewniej liczy się je z rozkładu na czynniki pierwsze:

NWD – iloczyn czynników wspólnych
NWW – iloczyn wszystkich czynników, wspólne liczone raz

Dla liczb 24 i 36:

24 = 2 · 2 · 2 · 3 36 = 2 · 2 · 3 · 3

Wspólne są czynniki 2, 2 i 3, więc:

NWD(24, 36) = 2 · 2 · 3 = 12

Do liczby 24 dopisujemy brakujące „drugie 3” z liczby 36:

NWW(24, 36) = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = 72

Jak rozpoznać w zadaniu tekstowym? „Podziel na największą liczbę jednakowych paczek / grup” – to NWD. „Co ile dni (minut) coś zdarzy się jednocześnie”, „kiedy znowu razem” – to NWW. Z 24 jabłek i 36 gruszek zrobisz najwyżej NWD = 12 jednakowych paczek.

Przykład 2. Kasia podlewa kaktusa co 12 dni, a paprotkę co 18 dni. Dziś podlała oba kwiaty. Za ile dni znowu podleje oba tego samego dnia?
  1. „Znowu razem” – szukamy NWW(12, 18). Rozkładamy obie liczby na czynniki:12 = 2 · 2 · 318 = 2 · 3 · 3
  2. Bierzemy wszystkie czynniki liczby 12 i dopisujemy brakujące „drugie 3” z liczby 18:NWW(12, 18) = 2 · 2 · 3 · 3
  3. Obliczamy:NWW(12, 18) = 36Kasia podleje oba kwiaty tego samego dnia za 36 dni.
  4. Sprawdzenie – kolejne dni podlewania:kaktus: 12, 24, 36paprotka: 18, 36 ✓

6 Liczby całkowite i działania

Liczby całkowite to liczby naturalne, zero i liczby do nich przeciwne: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … Na osi liczbowej liczby ujemne leżą na lewo od zera. Im bardziej na lewo, tym liczba jest mniejsza.

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 −3 < 2, bo −3 leży bardziej na lewo

Dodawanie i odejmowanie. Odjąć liczbę to dodać liczbę do niej przeciwną – dwa minusy obok siebie dają plus:

5 − (−3) = 5 + 3 = 8 −4 + (−6) = −10 −9 + 4 = −5

Mnożenie i dzielenie. Najpierw ustalamy znak wyniku, potem liczymy jak na liczbach dodatnich:

(+) · (+) = +
3 · 4 = 12
(−) · (−) = +
(−3) · (−4) = 12
(+) · (−) = −
3 · (−4) = −12

Te same zasady działają przy dzieleniu. Gdy mnożysz kilka liczb, policz minusy: parzysta liczba minusów daje wynik dodatni, nieparzysta – ujemny.

Kolejność działań:

nawiasy → potęgi → mnożenie i dzielenie → dodawanie i odejmowanie

Mnożenie i dzielenie (a także dodawanie i odejmowanie) wykonujemy od lewej do prawej.

Przykład 3. Oblicz −2 · (−5) − 12 : (−4) − 7.
  1. Najpierw mnożenie i dzielenie. Minus razy minus daje plus:−2 · (−5) = 10
  2. Plus podzielony przez minus daje minus:12 : (−4) = −3
  3. Wstawiamy wyniki do wyrażenia:10 − (−3) − 7
  4. Odjąć −3 to dodać 3:10 + 3 − 7 = 6

7 Typowe błędy

  • Dodawanie przed mnożeniem. W wyrażeniu 2 + 3 · 4 najpierw mnożymy:2 + 3 · 4 = 2 + 12 = 14a nie 5 · 4 = 20.
  • Dzielenie „od końca”. Mnożenie i dzielenie wykonujemy od lewej:24 : 4 · 2 = 6 · 2 = 12a nie 24 : 8 = 3.
  • Zgubiony znak przy mnożeniu. Trzy minusy to nieparzysta liczba minusów:(−2) · (−3) · (−5) = −30
  • Potęga liczby ujemnej. Nawias zmienia wynik:(−3)² = (−3) · (−3) = 9−3² = −(3 · 3) = −9
  • „1 jest liczbą pierwszą”. Nie jest – ma tylko jeden dzielnik. Najmniejsza liczba pierwsza to 2.
  • Pomylenie NWD z NWW. NWD nie może być większy od żadnej z liczb, a NWW nie może być od żadnej z nich mniejsza. Jeśli w zadaniu „co ile dni…” wyszło mniej niż jeden z okresów, to coś jest nie tak.
  • Zła cecha podzielności przez 4. Liczy się liczba z dwóch ostatnich cyfr, a nie tylko ostatnia cyfra: 34 kończy się czwórką, ale przez 4 się nie dzieli.
  • IIII albo VX w zapisie rzymskim. 4 to IV, a 5 to po prostu V.

8 Sprawdź się

Przećwicz na zadaniach z egzaminów

W banku są zadania CKE i warianty Matmoo z działu Liczby naturalne i całkowite – z podpowiedziami i rozwiązaniami.

Powtórz dział „Liczby naturalne i całkowite” (E8) Otwórz bank zadań