Pierwiastki

1 Pierwiastek kwadratowy – bok kwadratu

Kwadrat ma pole 49 cm². Jaki ma bok? Szukamy liczby, która pomnożona przez siebie daje 49. To 7, bo

Mówimy, że 7 to pierwiastek kwadratowy z 49, i piszemy

Ogólnie: pierwiastek kwadratowy z liczby a ≥ 0 to taka liczba nieujemna, która podniesiona do kwadratu daje a. Innymi słowy – to bok kwadratu o polu a.

Działa to także dla ułamków:

Pierwiastek i kwadrat „znoszą się” (dla a ≥ 0):

Kwadraty liczb od 1 do 15 warto znać na pamięć – bez nich trudno liczyć i szacować pierwiastki:

Uwaga na egzaminie: √16 = 4, a nie „4 albo −4”. Pierwiastek kwadratowy nigdy nie jest liczbą ujemną – bok kwadratu nie może mieć ujemnej długości.

2 Pierwiastek sześcienny – krawędź sześcianu

Sześcian ma objętość 64 cm³. Jaką ma krawędź? Szukamy liczby, która wzięta trzy razy jako czynnik daje 64. To 4, bo

Liczba 4 to pierwiastek sześcienny z 64 – czyli krawędź sześcianu o objętości 64:

Sześciany liczb od 1 do 10:

A co z liczbami ujemnymi? Kwadrat każdej liczby jest dodatni albo równy 0, więc

Za to sześcian liczby ujemnej jest ujemny, bo (−2) · (−2) · (−2) = −8. Dlatego pierwiastek sześcienny z liczby ujemnej istnieje i jest ujemny:

Uwaga: nie myl √−9 (nie istnieje) z −√9 (minus przed pierwiastkiem):−√9 = −3

3 Kwadrat i sześcian – pobaw się

Zmieniaj pole kwadratu albo objętość sześcianu. Jedna kratka to 1 jednostka (w sześcianie – jedna mała kostka). Gdy pole to kwadrat liczby całkowitej (a objętość – sześcian), bok wychodzi dokładnie. W przeciwnym razie zobaczysz, między którymi liczbami całkowitymi leży.

4 Szacowanie pierwiastków

Większość pierwiastków nie jest liczbami całkowitymi. Żeby sprawdzić, między którymi liczbami całkowitymi leży √n, szukamy dwóch sąsiednich kwadratów, między którymi jest n. Na przykład dla n = 40:

Tak samo z pierwiastkiem sześciennym – tylko szukamy sąsiednich sześcianów. Dla ∛100:

Na egzaminie często trzeba porównać pierwiastek z liczbą, np. czy √50 > 7. Wystarczy porównać liczby pod pierwiastkiem: 7 = √49, a 50 > 49, więc √50 > 7.

5 Mnożenie i dzielenie pierwiastków

Pierwiastki można mnożyć i dzielić „pod jednym pierwiastkiem” (dla a ≥ 0, b ≥ 0, przy dzieleniu b > 0):

To bardzo przydatne, gdy osobno pierwiastki są „brzydkie”, a razem dają liczbę całkowitą:

Te same wzory działają dla pierwiastka sześciennego:

6 Wyłączanie czynnika przed pierwiastek

Wzór na mnożenie działa też „od tyłu”. Jeśli liczba pod pierwiastkiem dzieli się przez kwadrat (4, 9, 16, 25, 36…), rozkładamy ją na iloczyn i ten kwadrat „wyciągamy” przed pierwiastek:

Zapis 2√3 oznacza 2 · √3 – znak mnożenia pomijamy. Wyłączając czynnik, szukaj największego kwadratu, przez który dzieli się liczba.

Uwaga: gdy weźmiesz za mały kwadrat, wynik nie jest jeszcze najprostszy. Z rozkładu 48 = 4 · 12 wychodzi√48 = 2√12a √12 da się jeszcze uprościć do 2√3. Na egzaminie odpowiedź ma być w najprostszej postaci.

7 Typowe błędy

• Pierwiastek z sumy to nie suma pierwiastków. Sprawdź na liczbach: √9 + 16 = √25 = 5 √9 + √16 = 3 + 4 = 7 Mnożenie i dzielenie można „rozbijać”, dodawania i odejmowania – nie.
• √2 + √3 to nie √5. Różnych pierwiastków nie dodajemy – taki wynik zostaje bez zmian.
• Liczba przed pierwiastkiem to mnożenie. 2√3 = √4 · 3 = √12, a nie √6
• Pierwiastek z ułamka dziesiętnego. Sprawdzaj przez podniesienie do kwadratu: √0,04 = 0,2, bo 0,2² = 0,04 √0,4 ≠ 0,2, bo 0,2² = 0,04 ≠ 0,4
• Pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej nie istnieje, sześcienny – tak. ∛−27 = −3 Zapis √−4 nie oznacza żadnej liczby, ale −√4 = −2 jest w porządku.

8 Sprawdź się