Lekcja · egzamin ósmoklasisty

Potęgi

Co oznacza an, dlaczego a0 = 1, jak potęgować liczby ujemne i ułamki, jak mnożyć i dzielić potęgi, jak je porównywać i zapisywać ogromne liczby w notacji wykładniczej. Około 15 minut.

  1. Co to jest potęga
  2. Potęgi – pobaw się
  3. Liczby ujemne i ułamki
  4. Działania na potęgach
  5. Porównywanie potęg
  6. Notacja wykładnicza
  7. Typowe błędy
  8. Sprawdź się

1 Co to jest potęga

Potęga to krótki zapis mnożenia tej samej liczby przez siebie:

an = a · a · … · a (n czynników)
  • a – podstawa potęgi (liczba, którą mnożymy),
  • n – wykładnik (ile razy podstawa stoi w iloczynie),
  • potęgę o wykładniku 2 nazywamy kwadratem, a o wykładniku 3 – sześcianem.

Na przykład:

34 = 3 · 3 · 3 · 3 = 81 105 = 100 000 (jedynka i 5 zer)

Dwa przypadki szczególne trzeba po prostu zapamiętać:

a1 = a     a0 = 1 (a ≠ 0)

Skąd a0 = 1? Spójrz na kolejne potęgi dwójki. Gdy wykładnik maleje o 1, wynik dzielimy przez 2:

23 = 8,   22 = 4,   21 = 2,   20 = 2 : 2 = 1

Uwaga na egzaminie: 23 to nie 2 · 3. Potęga to mnożenie podstawy przez siebie, a nie przez wykładnik: 23 = 2 · 2 · 2 = 8   (a nie 6)

2 Potęgi – pobaw się

Wybierz podstawę i przesuwaj suwak wykładnika. Zobaczysz, jak „rozpisać” potęgę na mnożenie i jak szybko rosną (albo maleją) kolejne potęgi.

Podstawa a:

3 Liczby ujemne i ułamki

Podstawa ujemna. Każde dwa minusy dają plus, więc o znaku wyniku decyduje wykładnik:

wykładnik parzysty
wynik dodatni
(−2)4 = 16
wykładnik nieparzysty
wynik ujemny
(−2)3 = −8
(−1)n
to 1 albo −1
(−1)7 = −1
(−2)3 = (−2) · (−2) · (−2) = 4 · (−2) = −8

Ułamek. Potęgujemy osobno licznik i mianownik:

(a/b)n = an / bn
(2/3)2 = 22 / 32 = 4/9 (0,1)3 = 0,1 · 0,1 · 0,1 = 0,001

Liczbę mieszaną najpierw zamień na ułamek niewłaściwy:

(1 1/2)2 = (3/2)2 = 9/4 = 2 1/4

Uwaga na egzaminie: nawias robi różnicę! W zapisie −24 potęgujemy tylko dwójkę, a minus stoi przed całością: −24 = −(2 · 2 · 2 · 2) = −16 (−2)4 = (−2) · (−2) · (−2) · (−2) = 16

Przykład 1. Oblicz (−2)3 − (−1)6 + (3/2)2 · 8.
  1. Najpierw potęgi. Wykładnik 3 jest nieparzysty, więc wynik jest ujemny:(−2)3 = −8
  2. Wykładnik 6 jest parzysty, więc wynik jest dodatni:(−1)6 = 1
  3. Ułamek – potęgujemy licznik i mianownik, potem mnożymy:(3/2)2 = 9/49/4 · 8 = 18
  4. Wstawiamy wszystko do wyrażenia:−8 − 1 + 18 = 9

4 Działania na potęgach

Te same podstawy. Przy mnożeniu wykładniki dodajemy, przy dzieleniu – odejmujemy:

am · an = am + n     am : an = am − n
23 · 24 = (2 · 2 · 2) · (2 · 2 · 2 · 2) = 27 56 : 54 = 52 = 25

Potęga potęgi. Wykładniki mnożymy:

(am)n = am · n
(23)2 = 23 · 23 = 26

Te same wykładniki. Można najpierw pomnożyć (podzielić) podstawy:

an · bn = (a · b)n     an : bn = (a : b)n
25 · 55 = 105 = 100 000 123 : 43 = 33 = 27

Uwaga na egzaminie: wzory działają tylko dla mnożenia i dzielenia. Dla dodawania nie ma skrótu – liczymy każdą potęgę osobno: 23 + 24 = 8 + 16 = 24   (a nie 27 = 128)

Przykład 2. Oblicz (34 · 35) : (32)3.
  1. Mnożenie potęg o tej samej podstawie – dodajemy wykładniki:34 · 35 = 34 + 5 = 39
  2. Potęga potęgi – mnożymy wykładniki:(32)3 = 32 · 3 = 36
  3. Dzielenie – odejmujemy wykładniki:39 : 36 = 39 − 6 = 33
  4. Obliczamy wynik:33 = 3 · 3 · 3 = 27

5 Porównywanie potęg

Nie zawsze trzeba liczyć wyniki. Wystarczy kilka reguł:

  • Ta sama podstawa większa od 1 – większa jest potęga o większym wykładniku:210 > 28
  • Ten sam wykładnik (podstawy dodatnie) – większa jest potęga o większej podstawie:35 > 25
  • Podstawa między 0 a 1 – odwrotnie: im większy wykładnik, tym mniejsza liczba:(1/2)3 = 1/8 < (1/2)2 = 1/4
  • Różne podstawy i wykładniki – zapisz obie liczby jako potęgi tej samej podstawy (np. 4 = 22, 8 = 23, 9 = 32, 27 = 33).

Uwaga na egzaminie: liczba ujemna jest zawsze mniejsza od dodatniej – najpierw sprawdź znaki: (−3)5 < 0 < (−2)4

Przykład 3. Która liczba jest większa: 274 czy 97?
  1. Obie podstawy są potęgami trójki:27 = 339 = 32
  2. Zapisujemy pierwszą liczbę jako potęgę trójki (potęga potęgi):274 = (33)4 = 312
  3. To samo z drugą liczbą:97 = (32)7 = 314
  4. Podstawa jest ta sama i większa od 1, więc wygrywa większy wykładnik:314 > 312Zatem 97 > 274.

6 Notacja wykładnicza

Bardzo duże liczby zapisujemy w postaci

a · 10k,   gdzie 1 ≤ a < 10

Przed przecinkiem w liczbie a stoi więc dokładnie jedna cyfra różna od zera. Wykładnik k mówi, o ile miejsc przesunęliśmy przecinek:

4 500 000 = 4,5 · 1 000 000 = 4,5 · 106 150 000 000 km = 1,5 · 108 km

Małe liczby. Liczbę 0,1 zapisujemy jako 10−1, 0,01 jako 10−2 itd. Traktuj to jako zapis: 10−n to jedynka na n-tym miejscu po przecinku.

zapis10−110−210−310−410−6
liczba0,10,010,0010,00010,000001
0,00052 = 5,2 · 0,0001 = 5,2 · 10−4

Uwaga na egzaminie: zapis 45 · 105 nie jest notacją wykładniczą, bo 45 > 10. Poprawnie: 45 · 105 = 4,5 · 10 · 105 = 4,5 · 106

7 Typowe błędy

Minus bez nawiasu

−24 = 16−24 = −16,   (−2)4 = 16

Mnożenie podstaw

23 · 24 = 4723 · 24 = 27

Podstawa razy wykładnik

52 = 1052 = 5 · 5 = 25

Potęga zerowa

70 = 070 = 1

Potęga potęgi

(23)2 = 25(23)2 = 26

Dodawanie potęg

32 + 32 = 3432 + 32 = 9 + 9 = 18

8 Sprawdź się

Przećwicz na zadaniach z egzaminów

W banku są zadania CKE i warianty Matmoo z działu Potęgi i pierwiastki – z podpowiedziami i rozwiązaniami.

Powtórz dział „Potęgi i pierwiastki” (E8) Otwórz bank zadań