Procenty

1 Procent to ułamek

„Procent” znaczy „na sto”. Jeden procent to jedna setna całości:

Procent → ułamek: zapisujemy liczbę procentów w liczniku, a 100 w mianowniku, i skracamy:

Procent → ułamek dziesiętny: dzielimy przez 100, czyli przesuwamy przecinek o dwa miejsca w lewo:

Ułamek → procent: mnożymy przez 100%. Ułamek zwykły najpierw rozszerzamy do mianownika 100 albo zamieniamy na dziesiętny:

Te wartości warto znać na pamięć:

Na egzaminie: 100% to cała wielkość. Procent większy niż 100% też ma sens – 150% liczby to półtora raza tyle, ile ta liczba.

2 Sto kratek – pobaw się

Cała siatka to 100 kratek, czyli 100%. Każda kratka to 1%, a każdy rząd to 10%. Przesuwaj suwaki: zobaczysz ułamek, ułamek dziesiętny i procent wybranej liczby.

3 Procent liczby i jakim procentem

Procent danej liczby obliczamy, mnożąc liczbę przez ułamek odpowiadający procentowi:

Na przykład 15% z 60 to

Często da się szybciej w pamięci: 10% to dziesiąta część, więc 10% z 60 to 6, a 5% to połowa z tego, czyli 3. Razem:

Jakim procentem liczby a jest liczba b? Zapisujemy ułamek „część przez całość” i zamieniamy go na procent:

Uwaga: w mianowniku zawsze stoi całość – liczba, od której liczymy procent (po słowie „liczby”). 18 to 75% liczby 24, ale 24 to aż 133⅓% liczby 18.

4 Liczba z danego procentu

Czasem znamy część i jej procent, a szukamy całości. Jeśli p% liczby x to b, to

Na egzaminie ósmoklasisty świetnie działa też sposób „przez 1%”: najpierw liczymy, ile to jest 1%, a potem mnożymy przez 100.

Jak rozpoznać ten typ? W treści pada „to stanowi 15% …”, „to 15% całej …”, a pytanie brzmi „ile było wszystkich?”. Nie licz wtedy 15% z 45 – liczba 45 to część, a nie całość.

5 Podwyżki i obniżki

Cena przed zmianą to 100%. Po podwyżce o p% płacimy (100 + p)% starej ceny, a po obniżce o p% – (100 − p)%:

Rower za 800 zł po obniżce o 15% kosztuje 85% starej ceny:

Ten sam rower po podwyżce o 15% kosztowałby 115% starej ceny:

O ile procent zmieniła się cena? Różnicę cen dzielimy przez cenę przed zmianą:

Uwaga na egzaminie: gdyby bilet potaniał z 30 zł do 25 zł, obniżka wynosiłaby 5/30, czyli około 16,7%, a nie 20% – bo teraz dzielimy przez 30. Liczy się zawsze cena przed zmianą.

Punkty procentowe (krótko): gdy jakiś procent zmienia się np. z 20% do 25%, mówimy, że wzrósł o 5 punktów procentowych. To nie to samo co wzrost o 5% – względem 20% to wzrost o 25%, bo

6 Diagramy i promile

Zapytano 200 uczniów o ulubiony sport. Wyniki pokazuje diagram kołowy. Całe koło to 100%, a wszystkie procenty na diagramie sumują się do 100%.

Ilu uczniów wybrało piłkę nożną? Liczymy 40% z 200:

O ilu uczniów więcej wybrało koszykówkę niż siatkówkę? Różnica procentów to 5%, więc:

Na diagramie kołowym procent odpowiada części kąta pełnego 360°. Wycinek 25% to ćwiartka koła:

Na diagramie słupkowym procenty odczytujemy z osi pionowej – najpierw sprawdź, co oznacza jedna kratka na osi (np. 5% albo 10%).

Promil to jedna tysięczna całości – używa się go, gdy części są bardzo małe (np. zawartość soli w wodzie):

Na przykład 3‰ z 2000 to

7 Typowe błędy

• Zła całość. „Jakim procentem liczby 40 jest 10?” – dzielimy 10 przez 40 (wychodzi 25%), a nie 40 przez 10.
• Procent od złej ceny. Przy „o ile procent zmieniła się cena” dzielimy przez cenę przed zmianą, nie po niej.
• Procent z części zamiast całości. „45 stron to 15% książki” – szukamy całej książki (300 stron), a nie 15% z 45.
• Dwie zmiany po p% się nie znoszą. 100 zł po podwyżce o 10% kosztuje 110 zł, a po obniżce o 10% od 110 zł – już 99 zł, bo druga zmiana liczy się od nowej ceny.
• Przesunięcie przecinka. 4% to 0,04, a nie 0,4 – procent dzielimy przez 100, czyli przecinek przesuwamy o dwa miejsca.
• Procenty a punkty procentowe. Wzrost z 20% do 25% to 5 punktów procentowych, ale wzrost o 25%.

8 Sprawdź się