Lekcja · egzamin ósmoklasisty · przyda się na maturze

Proporcjonalność

Stosunek i proporcja, podział w danym stosunku, proporcjonalność prosta i odwrotna, skala mapy – i jak nie pomylić jednego z drugim. Około 15 minut.

  1. Stosunek i proporcja
  2. Podział w danym stosunku
  3. Proporcjonalność prosta
  4. Proporcjonalność odwrotna
  5. Prosta czy odwrotna – pobaw się
  6. Skala mapy i planu
  7. Jak rozpoznać i typowe błędy
  8. Sprawdź się

1 Stosunek i proporcja

Stosunek liczb a i b (b ≠ 0) to ich iloraz, zapisywany a : b. Na przykład stosunek 6 do 8 to

6 : 8 = 6/8 = 3/4 = 3 : 4

Stosunek można skracać i rozszerzać jak ułamek. Proporcja to równość dwóch stosunków:

a : b = c : d  ⇔  a · d = b · c

Iloczyn wyrazów skrajnych (a i d) jest równy iloczynowi wyrazów środkowych (b i c). To „mnożenie na krzyż” – najszybszy sposób na rozwiązanie proporcji.

Przykład 1. Rozwiąż proporcję x : 12 = 5 : 4.
  1. Iloczyn wyrazów skrajnych równa się iloczynowi wyrazów środkowych:x · 4 = 12 · 5
  2. Obliczamy prawą stronę:4x = 60
  3. Dzielimy obie strony przez 4:x = 15
  4. Sprawdzenie – oba stosunki mają tę samą wartość:15 : 12 = 1,255 : 4 = 1,25 ✓

Uwaga: kolejność w stosunku ma znaczenie. „Chłopców do dziewcząt jest 2 : 3” to co innego niż 3 : 2 – zawsze sprawdź, która wielkość stoi pierwsza.

2 Podział w danym stosunku

Podzielić wielkość w stosunku m : n to rozdzielić ją na m + n równych części i dać jednej osobie m części, a drugiej n części.

Przykład 2. Ania i Bartek podzielili 480 zł w stosunku 3 : 5. Ile dostało każde z nich?
  1. Liczymy, na ile równych części dzielimy kwotę:3 + 5 = 8
  2. Obliczamy wartość jednej części:480 : 8 = 60 zł
  3. Ania dostaje 3 części, a Bartek 5 części:3 · 60 = 180 zł5 · 60 = 300 zł
  4. Sprawdzenie – suma i stosunek się zgadzają:180 + 300 = 480 ✓180 : 300 = 3 : 5 ✓

3 Proporcjonalność prosta

Wielkości x i y są wprost proporcjonalne, gdy ich iloraz jest stały. Ile razy wzrośnie x, tyle razy wzrośnie y.

y = ax  ⇔  y / x = a (a > 0)

Liczbę a nazywamy współczynnikiem proporcjonalności. Przykład: 1 kg jabłek kosztuje 4 zł, więc cena y za x kg to

y = 4x
x (kg)1235
y (zł)481220
y / x4444

Wykres: wzór y = ax opisuje prostą przechodzącą przez punkt (0, 0). W zadaniach z życia x > 0, więc rysujemy tylko jej część w I ćwiartce – półprostą wychodzącą z początku układu.

Na maturze: proporcjonalność prosta to szczególny przypadek funkcji liniowej y = ax + b – taki, w którym b = 0. Funkcja y = 2x + 3 jest liniowa, ale nie jest proporcjonalnością prostą.

4 Proporcjonalność odwrotna

Wielkości x i y są odwrotnie proporcjonalne, gdy ich iloczyn jest stały. Ile razy wzrośnie x, tyle razy zmaleje y.

y = a / x  ⇔  x · y = a (a > 0)

Typowe pary: prędkość i czas (na tej samej trasie), liczba pracowników i czas pracy, liczba osób i kwota na osobę. Trasę 120 km przejedziesz z prędkością 60 km/h w 2 h, a z prędkością 40 km/h w 3 h, bo

60 · 2 = 40 · 3 = 120

Wykres: w I ćwiartce to gałąź hiperboli – krzywa, która nigdy nie dotyka osi układu.

Przykład 3. Sześciu malarzy pomaluje szkołę w 10 dni. Ile dni zajmie to czterem malarzom, jeśli pracują w tym samym tempie?
  1. Mniej malarzy – więcej dni. To proporcjonalność odwrotna, więc stały jest iloczyn.
  2. Obliczamy iloczyn liczby malarzy i liczby dni (tzw. „dniówki”):6 · 10 = 60
  3. Czterech malarzy musi wykonać tyle samo pracy:4 · t = 60t = 15 dni
  4. Sprawdzenie – iloczyn się nie zmienił:4 · 15 = 60 ✓

5 Prosta czy odwrotna – pobaw się

Wybierz rodzaj proporcjonalności i zmieniaj współczynnik a. W tabeli zobaczysz, co pozostaje stałe.

6 Skala mapy i planu

Skala 1 : k oznacza, że 1 cm na mapie to k cm w rzeczywistości. Odległość na mapie i odległość w terenie są wprost proporcjonalne. Na mapie w skali 1 : 25 000 odcinek 4 cm to w terenie

4 · 25 000 cm = 100 000 cm = 1 km

Przydatne zamiany: 1 m = 100 cm, 1 km = 100 000 cm.

Uwaga na egzaminie – pola: w skali 1 : k długości mnożymy przez k, ale pola przez k². Pokój na planie 1 : 100 ma wymiary 3 cm × 4 cm, czyli w rzeczywistości 3 m × 4 m. Pole na planie to 12 cm², a w rzeczywistości:12 cm² · 100² = 120 000 cm² = 12 m²

7 Jak rozpoznać i typowe błędy

Masz tabelę wartości x i y? Policz dla każdej kolumny iloraz i iloczyn:

y / x stałe
proporcjonalność prosta
y = ax
x · y stałe
proporcjonalność odwrotna
y = a / x
ani to, ani to
żadna z nich
np. y = x + 2

Najczęstsze błędy:

  • „Obie wielkości rosną, więc to proporcjonalność prosta”. Nie zawsze! W tabeli x: 1, 2, 3 i y: 3, 4, 5 obie rosną, ale y / x się zmienia (3; 2; 5/3) – to żadna proporcjonalność.
  • Zła proporcja przy odwrotnej. Więcej pracowników to mniej dni. Jeśli wychodzi, że 4 malarzy skończy szybciej niż 6, proporcja została ułożona jak dla prostej.
  • Zapomniane jednostki w skali. Wynik w centymetrach trzeba zamienić na metry lub kilometry.
  • Pole w skali. Pola przeliczamy przez k², nie przez k.
  • Podział w stosunku 3 : 5 to nie „3 i 5 zł”. Najpierw liczba części (3 + 5 = 8), potem wartość jednej części.

8 Sprawdź się

Przećwicz na zadaniach z egzaminów

W banku są zadania CKE i warianty Matmoo z działu Proporcjonalność – z podpowiedziami i rozwiązaniami.

Powtórz dział „Proporcjonalność” (E8) Otwórz bank zadań