Równania

1 Co to znaczy rozwiązać równanie

Równanie to dwa wyrażenia połączone znakiem „=”. Litera (najczęściej x) to niewiadoma – liczba, której szukamy. Na przykład:

Rozwiązanie równania to liczba, która wstawiona w miejsce x daje prawdziwą równość. Rozwiązać równanie to znaleźć wszystkie takie liczby (albo stwierdzić, że ich nie ma).

Jak sprawdzić, czy liczba jest rozwiązaniem? Wstaw ją osobno do lewej (L) i do prawej strony (P) i porównaj wyniki. Czy 4 jest rozwiązaniem równania 2x + 3 = 11?

L = P, więc tak. A czy 5 jest rozwiązaniem?

Nie jest.

Uwaga na egzaminie: w zadaniach zamkniętych („Która liczba jest rozwiązaniem…?”) często szybciej jest wstawić podane liczby do równania, niż je rozwiązywać. Sprawdzenie przydaje się też na końcu każdego zadania – w minutę wyłapiesz błąd w rachunkach.

2 Waga szalkowa – pobaw się

Równanie jest jak waga w równowadze. Fioletowy klocek to x (nie wiemy, ile waży), szary odważnik waży 1. Jeśli z obu szalek zdejmiesz to samo albo obie podzielisz na tyle samo równych części, waga dalej jest w równowadze. Ustaw suwakami równanie ax + b = cx + d i klikaj kolejne kroki.

3 Przenoszenie wyrazów i nawiasy

To, co robiliśmy na wadze, w zeszycie zapisujemy krócej: wyraz przeniesiony na drugą stronę zmienia znak. Plan dla każdego równania pierwszego stopnia:

1. opuść nawiasy (i pozbądź się ułamków – sekcja 4),
2. wyrazy z x przenieś na lewą stronę, liczby na prawą,
3. zredukuj wyrazy podobne,
4. podziel obie strony przez liczbę stojącą przy x.

Opuszczając nawias, mnożysz liczbę przed nim przez każdy wyraz w środku. Minus przed nawiasem zmienia znaki wszystkich wyrazów w nawiasie:

Typowe błędy:

• przeniesienie bez zmiany znaku – z równania 3x − 2 = 2x + 5 nie dostaniesz:3x − 2x = 5 − 2 ✗
• pomnożenie przez liczbę przed nawiasem tylko pierwszego wyrazu:3(x − 2) = 3x − 2 ✗3(x − 2) = 3x − 6 ✓
• zgubienie minusa przy dzieleniu:−3x = 12x = 12 : (−3) = −4 ✓

4 Równania z ułamkami

Gdy w równaniu są ułamki, pomnóż obie strony przez wspólny mianownik (najlepiej najmniejszy). Ułamki znikną i dostaniesz zwykłe równanie.

Licznik, który jest sumą lub różnicą, bierzemy w nawias – kreska ułamkowa działa jak nawias.

Typowy błąd: pomnożenie przez 6 tylko lewej strony (albo tylko ułamków). Gdyby zostawić po prawej 2 zamiast 12, wyszłoby źle:x + 7 = 2x = −5 ✗ Waga zostaje w równowadze tylko wtedy, gdy obie strony zmieniasz tak samo.

5 Równania sprzeczne i tożsamościowe

Czasem po przeniesieniu wyrazów x znika zupełnie. Wtedy patrzymy, co zostało:

Przykład równania sprzecznego:

Przykład równania tożsamościowego:

Uwaga na egzaminie: nie pisz „x = 0” w równaniu sprzecznym ani tożsamościowym. Odpowiedź to „brak rozwiązań” albo „każda liczba jest rozwiązaniem”.

6 Przekształcanie wzorów

„Wyznacz h ze wzoru” znaczy: przekształć wzór tak, żeby h stało samo po jednej stronie. Robimy to jak przy równaniu – traktujemy h jak x, a pozostałe litery jak liczby. Wyznaczmy h ze wzoru na pole trójkąta:

Mnożymy obie strony przez 2:

Dzielimy obie strony przez a:

Drugi przykład – czas ze wzoru na prędkość:

Sprawdź na liczbach: trójkąt o podstawie 8 i wysokości 6 ma pole 24. Z wyprowadzonego wzoru:h = 2 · 24 / 8 = 6 ✓

7 Równania w zadaniach z treścią

Każde takie zadanie rozwiązuj według tego samego planu:

1. oznacz niewiadomą (napisz, co oznacza x),
2. zapisz pozostałe wielkości za pomocą x i ułóż równanie,
3. rozwiąż równanie,
4. sprawdź wynik z treścią zadania (nie tylko z równaniem),
5. napisz odpowiedź pełnym zdaniem.

Uwaga na egzaminie: w zadaniu otwartym egzaminator musi widzieć, co oznacza x i skąd wzięło się równanie. Sam wynik bez rozwiązania nie daje punktów.

8 Sprawdź się