Lekcja · egzamin ósmoklasisty

Statystyka i prawdopodobieństwo

Jak czytać tabele i diagramy, jak zamienić procenty na stopnie, jak liczyć średnią i prawdopodobieństwo przy rzucie kostką, monetą i losowaniu kul. Około 15 minut.

  1. Tabele i diagram słupkowy
  2. Diagram kołowy
  3. Średnia arytmetyczna
  4. Prawdopodobieństwo
  5. Losowanie kul – pobaw się
  6. Typowe błędy
  7. Sprawdź się

1 Tabele i diagram słupkowy

Te same dane można pokazać w tabeli albo na diagramie słupkowym. Wysokość słupka to liczebność – ile razy dana wartość wystąpiła. Uczniów klasy 8a zapytano, ile książek przeczytali w wakacje:

Liczba książekLiczba uczniów
03
17
26
34
02468 3764 0123 liczba przeczytanych książek

Z takiego zestawienia odczytasz na przykład, ilu uczniów jest w klasie – dodajesz wszystkie liczebności:

3 + 7 + 6 + 4 = 20

Ilu uczniów przeczytało co najmniej 2 książki? To ci, którzy przeczytali 2 lub 3:

6 + 4 = 10

A jaki to procent klasy?

10/20 = 1/2 = 50%

Uwaga na egzaminie: zanim zaczniesz liczyć, przeczytaj opisy osi i nagłówki tabeli. Pytania z „co najmniej”, „co najwyżej”, „więcej niż” to najczęstsza pułapka – „co najmniej 2” oznacza 2, 3, 4…, a „więcej niż 2” oznacza 3, 4…

2 Diagram kołowy – procenty i stopnie

Na diagramie kołowym całe koło to 100% danych i jednocześnie kąt pełny 360°. Stąd

1% ↔ 3,6°    bo 360° : 100 = 3,6°

Aby zamienić procent na kąt wycinka, mnożymy przez 3,6°. Aby zamienić kąt na procent – dzielimy przez 3,6°. Tak dojeżdżają do szkoły uczniowie klasy 8b:

50%25%15%10%
SposóbProcentKąt
pieszo50%180°
autobusem25%90°
rowerem15%54°
samochodem10%36°

Na przykład wycinek „rowerem” ma kąt

15 · 3,6° = 54°

Warto pamiętać: 50% = 180° (półkole), 25% = 90° (kąt prosty), 10% = 36°. Jeśli w klasie jest 40 uczniów, to rowerem dojeżdża

15% · 40 = 0,15 · 40 = 6 uczniów
Przykład 1. W klasie jest 30 uczniów, a 12 z nich wybrało matematykę jako ulubiony przedmiot. Jaki kąt ma wycinek „matematyka” na diagramie kołowym?
  1. Jaką częścią klasy są ci uczniowie? Zapisujemy ułamek i skracamy go:12/30 = 2/5
  2. Zamieniamy ułamek na procenty:2/5 = 40/100 = 40%
  3. Zamieniamy procenty na stopnie:40 · 3,6° = 144°
  4. Sprawdzenie – ta sama część kąta pełnego:2/5 · 360° = 720° : 5 = 144° ✓

3 Średnia arytmetyczna

Średnia arytmetyczna to suma wszystkich liczb podzielona przez to, ile ich jest:

średnia = suma liczb : liczba liczb

Średnia liczb 2, 5, 6, 9 wynosi

(2 + 5 + 6 + 9) : 4 = 22 : 4 = 5,5

Średnia nie musi być jedną z danych liczb i nie musi być liczbą całkowitą. Leży zawsze między najmniejszą a największą z nich.

Średnia z tabeli liczebności. Każdą wartość mnożymy przez to, ile razy wystąpiła. Średnia liczba książek w klasie 8a z sekcji 1:

(0 · 3 + 1 · 7 + 2 · 6 + 3 · 4) : 20 = (0 + 7 + 12 + 12) : 20 = 31 : 20 = 1,55

Brakująca liczba. Gdy znasz średnią, łatwo obliczysz sumę wszystkich liczb:

suma = średnia · liczba liczb
Przykład 2. Kuba z czterech sprawdzianów dostał oceny 3, 5, 4, 4. Jaką ocenę musi dostać z piątego sprawdzianu, żeby średnia ze wszystkich pięciu wyniosła 4,2?
  1. Suma pięciu ocen musi być równa średniej razy liczba ocen:4,2 · 5 = 21
  2. Obliczamy sumę ocen, które Kuba już ma:3 + 5 + 4 + 4 = 16
  3. Brakująca ocena to różnica tych sum:21 − 16 = 5
  4. Sprawdzenie:(3 + 5 + 4 + 4 + 5) : 5 = 21 : 5 = 4,2 ✓

Uwaga na egzaminie: dzielisz przez liczbę wszystkich danych – także tych, które się powtarzają, i tych równych 0. Uczeń, który przeczytał 0 książek, też jest w klasie!

4 Prawdopodobieństwo

W doświadczeniu losowym (rzut kostką, rzut monetą, losowanie kuli) wypisujemy wszystkie możliwe wyniki. Jeśli każdy z nich jest tak samo możliwy, to

P(A) = liczba zdarzeń sprzyjających / liczba wszystkich zdarzeń

Zdarzenia sprzyjające to te wyniki, przy których zachodzi A. Prawdopodobieństwo jest zawsze liczbą od 0 do 1:

0 ≤ P(A) ≤ 1

Zdarzenie niemożliwe ma prawdopodobieństwo 0 (np. „wypadło 7 oczek”), a zdarzenie pewne – 1 (np. „wypadło mniej niż 7 oczek”).

Kostka. Wszystkich wyników jest 6: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Zdarzenie „wypadła parzysta liczba oczek” ma 3 wyniki sprzyjające: 2, 4, 6, więc

P = 3/6 = 1/2

Kule. W pudełku są 3 czerwone i 5 niebieskich kul. Wszystkich kul jest 8, czerwonych 3, więc

P(czerwona) = 3/8
Przykład 3. Rzucamy dwiema monetami. Oblicz prawdopodobieństwo, że wypadnie co najmniej jeden orzeł.
  1. Wypisujemy wszystkie wyniki (O – orzeł, R – reszka; pierwsza litera to pierwsza moneta):OO, OR, RO, RRWszystkich wyników jest 4, a nie 3 – OR i RO to dwa różne wyniki.
  2. Wybieramy wyniki sprzyjające – te, w których jest przynajmniej jedno O:OO, OR, ROJest ich 3.
  3. Dzielimy liczbę zdarzeń sprzyjających przez liczbę wszystkich:P = 3/4
  4. Sprawdzenie – „ani jednego orła” to tylko RR:1 − 1/4 = 3/4 ✓

5 Losowanie kul – pobaw się

Ustaw suwakami, ile kul każdego koloru jest w pudełku, i patrz, jak zmienia się prawdopodobieństwo. Potem losuj – im więcej losowań, tym bliżej prawdopodobieństwa jest wynik.

Zauważ: P(czerwona) + P(niebieska) = 1, bo zawsze wylosujesz którąś z nich. Gdy jest 0 kul jakiegoś koloru, jej wylosowanie jest zdarzeniem niemożliwym.

6 Typowe błędy

  • Dzielenie przez złą liczbę w prawdopodobieństwie. W pudełku są 4 białe i 6 czarnych kul. W mianowniku są wszystkie kule, więcP(biała) = 4/10 = 2/5a nie 4/6.
  • Za mało wyników przy dwóch monetach. Wyniki to OO, OR, RO, RR – cztery, a nie trzy. Orzeł i reszka to OR lub RO, więcP = 2/4 = 1/2a nie 1/3.
  • Mylenie procentów ze stopniami. Wycinek 20% nie ma kąta 20°, tylko20 · 3,6° = 72°
  • Średnia bez powtórzeń. Jeśli trzech uczniów ma ocenę 5, to piątkę dodajesz do sumy trzy razy, a dzielisz przez liczbę wszystkich uczniów.
  • Prawdopodobieństwo większe od 1. Jeśli wyszło np. 8/5, to na pewno pomyliłeś licznik z mianownikiem.
  • „Co najmniej” i „więcej niż”. „Co najmniej 5 oczek” to 5 lub 6, a „więcej niż 5 oczek” to tylko 6.

7 Sprawdź się

Przećwicz na zadaniach z egzaminów

W banku są zadania CKE i warianty Matmoo z działu Elementy statystyki i prawdopodobieństwa – z podpowiedziami i rozwiązaniami.

Powtórz dział „Statystyka i prawdopodobieństwo” (E8) Otwórz bank zadań