Lekcja · egzamin ósmoklasisty

Ułamki zwykłe i dziesiętne

Skracanie i rozszerzanie, liczby mieszane, porównywanie, cztery działania na ułamkach, ułamki dziesiętne i okresowe, ułamek z liczby – oraz błędy, które kosztują punkty. Około 20 minut.

  1. Czym jest ułamek
  2. Ułamek – pobaw się
  3. Porównywanie ułamków
  4. Dodawanie i odejmowanie
  5. Mnożenie, dzielenie, ułamek z liczby
  6. Ułamki dziesiętne
  7. Typowe błędy
  8. Sprawdź się

1 Czym jest ułamek

Ułamek a/b to a równych części z całości podzielonej na b części. Mianownik (na dole) mówi, na ile części dzielimy całość, a licznik (na górze) – ile tych części bierzemy.

Kreska ułamkowa oznacza też dzielenie:

a/b = a : b (b ≠ 0)

Na przykład 3 pizze podzielone równo między 4 osoby to dla każdej

3 : 4 = 3/4 pizzy

Liczby mieszane. Ułamek, w którym licznik jest większy od mianownika (lub mu równy), to ułamek niewłaściwy. Wyłączamy z niego całości – dzielimy z resztą:

11 : 4 = 2 reszta 3 11/4 = 2 3/4

W drugą stronę mnożymy całości przez mianownik i dodajemy licznik:

2 3/4 = (2 · 4 + 3)/4 = 11/4

Skracanie i rozszerzanie. Wartość ułamka się nie zmienia, gdy licznik i mianownik pomnożymy (rozszerzanie) albo podzielimy (skracanie) przez tę samą liczbę różną od zera:

a/b = (a · k)/(b · k)

Najszybciej skracamy przez największy wspólny dzielnik (NWD). Dla 18/24 mamy NWD = 6:

18/24 = (18 : 6)/(24 : 6) = 3/4

Ułamka 3/4 nie da się już skrócić – to jego postać nieskracalna.

2 Ułamek – pobaw się

Ustaw licznik i mianownik. Zobaczysz ułamek na rysunku i na osi liczbowej, jego postać nieskracalną, liczbę mieszaną i rozwinięcie dziesiętne.

Spróbuj: ustaw 6/8, a potem 3/4 – rysunek i punkt na osi są takie same, bo to ten sam ułamek. Sprawdź też mianowniki 3, 6, 7, 9, 11, 12: dlaczego rozwinięcie dziesiętne czasem się nie kończy?

3 Porównywanie ułamków

ten sam mianownik
większy jest ten
z większym licznikiem
5/9 > 4/9
ten sam licznik
większy jest ten
z mniejszym mianownikiem
3/5 > 3/7
różne
sprowadź do wspólnego mianownika
albo zamień na dziesiętne

Porównajmy 5/6 i 7/9. Wspólny mianownik to NWW(6, 9) = 18:

5/6 = 15/18 7/9 = 14/18

Licznik 15 jest większy od 14, więc

5/6 > 7/9

Na egzaminie: w zadaniach „prawda/fałsz” i „wskaż największą liczbę” często mieszają się ułamki zwykłe i dziesiętne. Zamień wszystko na jedną postać – zwykle najszybciej na ułamki dziesiętne.

4 Dodawanie i odejmowanie

Dodajemy i odejmujemy tylko liczniki – mianownik zostaje ten sam:

a/b + c/b = (a + c)/b

Gdy mianowniki są różne, najpierw sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika (najlepiej NWW mianowników):

3/4 − 1/6 = 9/12 − 2/12 = 7/12
Przykład 1. Oblicz 2 1/3 + 1 3/4.
  1. Zamieniamy liczby mieszane na ułamki niewłaściwe:2 1/3 = (2 · 3 + 1)/3 = 7/31 3/4 = (1 · 4 + 3)/4 = 7/4
  2. Wspólny mianownik to NWW(3, 4) = 12. Rozszerzamy oba ułamki:7/3 = 28/127/4 = 21/12
  3. Dodajemy liczniki:28/12 + 21/12 = 49/12
  4. Wyłączamy całości:49 : 12 = 4 reszta 149/12 = 4 1/12

Sposób na skróty: przy dodawaniu liczb mieszanych można osobno dodać całości (2 + 1 = 3) i osobno ułamki (1/3 + 3/4 = 13/12 = 1 1/12). Wynik ten sam: 4 1/12.

5 Mnożenie, dzielenie, ułamek z liczby

Mnożenie – licznik razy licznik, mianownik razy mianownik:a/b · c/d = (a · c)/(b · d)
Dzielenie – mnożymy przez odwrotność dzielnika:a/b : c/d = a/b · d/c

Odwrotność ułamka c/d to d/c (zamieniamy licznik z mianownikiem), np. odwrotność 2/5 to 5/2, a odwrotność 3 to 1/3. Przed mnożeniem warto skracać „na krzyż” – licznik jednego ułamka z mianownikiem drugiego. Liczby mieszane przy mnożeniu i dzieleniu zawsze zamieniamy na ułamki niewłaściwe.

Przykład 2. Oblicz 3/4 : 1 1/8.
  1. Zamieniamy liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy:1 1/8 = 9/8
  2. Dzielenie zastępujemy mnożeniem przez odwrotność dzielnika:3/4 : 9/8 = 3/4 · 8/9
  3. Skracamy na krzyż: 3 z 9 przez 3, a 8 z 4 przez 4:3/4 · 8/9 = 1/1 · 2/3
  4. Mnożymy:3/4 : 1 1/8 = 2/3Sprawdzenie – iloraz razy dzielnik daje dzielną:2/3 · 9/8 = 18/24 = 3/4 ✓

Ułamek z liczby obliczamy, mnożąc ułamek przez tę liczbę. Na przykład 2/5 z 30 zł to

2/5 · 30 = 60/5 = 12 zł

Czyli: dzielimy przez mianownik (30 : 5 = 6 – to jedna piąta) i mnożymy przez licznik (6 · 2 = 12).

6 Ułamki dziesiętne

Ułamek dziesiętny to inny zapis ułamka o mianowniku 10, 100, 1000…, np.

0,35 = 35/100 = 7/20

Działania. Dodając i odejmując pisemnie, ustawiamy przecinek pod przecinkiem:

3,5 + 0,72 = 4,22

Mnożąc, liczymy jak na liczbach naturalnych, a w wyniku oddzielamy przecinkiem tyle cyfr, ile łącznie jest po przecinku w obu czynnikach:

0,3 · 0,04 = 0,012

Dzieląc, przesuwamy przecinek w obu liczbach o tyle samo miejsc w prawo, aż dzielnik będzie liczbą naturalną:

1,2 : 0,03 = 120 : 3 = 40

Zwykły → dziesiętny. Rozszerzamy ułamek do mianownika 10, 100, 1000… albo po prostu dzielimy licznik przez mianownik:

3/25 = 12/100 = 0,12 3/8 = 3 : 8 = 0,375
ułamek nieskracalny ma skończone rozwinięcie dziesiętne ⇔
w rozkładzie mianownika na czynniki są tylko 2 i 5

Jeśli w mianowniku jest inny czynnik (3, 7, 11…), dzielenie nigdy się nie kończy i cyfry zaczynają się powtarzać – to ułamek okresowy. Powtarzającą się część (okres) zapisujemy w nawiasie:

1/3 = 0,333… = 0,(3) 1/6 = 0,1666… = 0,1(6)
Przykład 3. Zamień ułamek 5/12 na ułamek dziesiętny.
  1. Ułamek jest nieskracalny. Rozkładamy mianownik:12 = 2 · 2 · 3Jest czynnik 3, więc rozwinięcie będzie okresowe.
  2. Dzielimy 5 : 12 (dopisując zera):50 : 12 = 4 reszta 220 : 12 = 1 reszta 880 : 12 = 6 reszta 8
  3. Reszta 8 się powtórzyła, więc od teraz ciągle wychodzi cyfra 6:5 : 12 = 0,41666…
  4. Zapisujemy okres w nawiasie:5/12 = 0,41(6)

Na egzaminie: gdy w jednym działaniu są ułamki zwykłe i dziesiętne, a któryś ułamek zwykły ma rozwinięcie okresowe (np. 1/3), zamień ułamki dziesiętne na zwykłe i licz na zwykłych. Zaokrąglając 0,333… do 0,33, dostaniesz niedokładny wynik.

7 Typowe błędy

  • Dodawanie mianowników. Mianowników nie dodajemy! Źle:1/2 + 1/3 = 2/5 ✗Dobrze – najpierw wspólny mianownik:1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6
  • Odwracanie złego ułamka przy dzieleniu. Odwracamy dzielnik, czyli ułamek po znaku „:”. Pierwszy ułamek zostaje bez zmian.
  • Mnożenie liczb mieszanych „całości razy całości, ułamki razy ułamki”. Źle:2 1/2 · 2 1/2 = 4 1/4 ✗Dobrze – zamieniamy na ułamki niewłaściwe:5/2 · 5/2 = 25/4 = 6 1/4
  • Skracanie składników zamiast czynników. Skracać wolno tylko to, co jest pomnożone. Źle:(3 + 5)/3 = 5 ✗Dobrze:(3 + 5)/3 = 8/3 = 2 2/3
  • Przecinek przy mnożeniu. Po przecinku są łącznie dwie cyfry, więc:0,2 · 0,3 = 0,06a nie 0,6.
  • 1/3 to nie 0,3. Poprawnie:1/3 = 0,(3)Natomiast 0,3 = 3/10.

8 Sprawdź się

Przećwicz na zadaniach z egzaminów

W banku są zadania CKE i warianty Matmoo z działu Ułamki zwykłe i dziesiętne – z podpowiedziami i rozwiązaniami.

Powtórz dział „Ułamki zwykłe i dziesiętne” (E8) Otwórz bank zadań