Lekcja · egzamin ósmoklasisty

Wyrażenia algebraiczne

Jak zapisać treść zadania literami, obliczyć wartość wyrażenia, zredukować wyrazy podobne, opuścić nawiasy i pomnożyć sumy – bez typowych wpadek z minusem. Około 15 minut.

  1. Zapisywanie wyrażeń z treści
  2. Wartość wyrażenia
  3. Jednomiany i wyrazy podobne
  4. Opuszczanie nawiasów
  5. Mnożenie sum
  6. Podstaw i zobacz – pobaw się
  7. Geometria i typowe błędy
  8. Sprawdź się

1 Zapisywanie wyrażeń z treści

Wyrażenie algebraiczne to zapis, w którym oprócz liczb występują litery (zmienne), połączone znakami działań i nawiasami. Litera zastępuje liczbę, której jeszcze nie znamy albo która może się zmieniać.

SłownieWyrażenie
liczba o 3 większa od xx + 3
liczba o 3 mniejsza od xx − 3
liczba 3 razy większa od x3x
połowa liczby xx/2
dwukrotność sumy liczb x i y2(x + y)
suma liczby x i dwukrotności liczby yx + 2y
kwadrat różnicy liczb a i b(a − b)²
różnica kwadratów liczb a i ba² − b²
trzy kolejne liczby naturalnen, n + 1, n + 2
liczba parzysta / nieparzysta2n / 2n + 1

Uwaga na egzaminie: pierwsze słowo mówi, jakie działanie wykonujemy na końcu. „Dwukrotność sumy” – najpierw dodajemy, potem mnożymy przez 2, więc potrzebny jest nawias: 2(x + y). „Suma dwukrotności” – najpierw mnożymy, na końcu dodajemy: 2x + 2y.

2 Wartość wyrażenia

Aby obliczyć wartość wyrażenia, wstawiamy liczby w miejsce liter i wykonujemy działania w zwykłej kolejności: nawiasy, potęgi, mnożenie i dzielenie, na końcu dodawanie i odejmowanie.

Między liczbą a literą stoi ukryty znak mnożenia. Dla x = 5:

3x = 3 · 5 = 15 (a nie 35!)

Liczby ujemne i ułamki wstawiamy w nawiasie. Dla x = −3:

x² = (−3)² = 9

Bez nawiasu wyszłoby −3² = −9, bo potęga dotyczy wtedy tylko trójki.

Przykład 1. Oblicz wartość wyrażenia 2a² − 3ab dla a = −2 i b = 1/2.
  1. Wstawiamy liczby w nawiasach w miejsce liter:2 · (−2)² − 3 · (−2) · 1/2
  2. Najpierw potęga:(−2)² = 4więc pierwszy składnik to2 · 4 = 8
  3. Teraz drugi iloczyn:3 · (−2) · 1/2 = −6 · 1/2 = −3
  4. Odejmujemy – minus i minus dają plus:8 − (−3) = 8 + 3 = 11

3 Jednomiany i wyrazy podobne

Jednomian to iloczyn liczby i liter (albo sama liczba, albo sama litera), np. 3x, −2ab, 5x², y. Liczbę z przodu nazywamy współczynnikiem liczbowym – w jednomianie −2ab jest nim −2, a w jednomianie y jest nim 1.

Wyrazy podobne mają te same litery w tych samych potęgach – różnią się co najwyżej współczynnikiem.

podobne
3x i −7x
2a²b i 5a²b
niepodobne
3x i 3x²
inna potęga x
niepodobne
2ab i 2a
inne litery

Redukcja wyrazów podobnych to dodanie ich współczynników – litery przepisujemy bez zmian:

5x + 2y − 3x + 4y = 2x + 6y

Przy mnożeniu jednomianów mnożymy liczby przez liczby i litery przez litery:

3x · 4x = 12x² 2a · (−5b) = −10ab

Uwaga: dodawać można tylko wyrazy podobne. Wyrażenia 2x + 3 nie da się już uprościć – to nie jest 5x. Pamiętaj też: x + x = 2x, ale x · x = x².

4 Opuszczanie nawiasów

  • Plus przed nawiasem – nawias po prostu skreślamy:+(a − b) = a − b
  • Minus przed nawiasem – skreślamy nawias i zmieniamy znak każdego wyrazu w środku:−(a − b + c) = −a + b − c
  • Liczba lub jednomian przed nawiasem – mnożymy przez niego każdy wyraz w nawiasie:
a(b + c) = ab + ac

Na przykład:

−2x(3x − 4) = −6x² + 8x
Przykład 2. Uprość wyrażenie 3(2x − 1) − (4x − 5) i oblicz jego wartość dla x = −1/2.
  1. Mnożymy 3 przez każdy wyraz pierwszego nawiasu:3(2x − 1) = 6x − 3
  2. Opuszczamy drugi nawias z minusem – zmieniamy oba znaki:−(4x − 5) = −4x + 5
  3. Zbieramy wszystko i redukujemy wyrazy podobne:6x − 3 − 4x + 5 = 2x + 2
  4. Wstawiamy x = −1/2 do uproszczonej postaci:2 · (−1/2) + 2 = −1 + 2 = 1
  5. Sprawdzenie na wyrażeniu z nawiasami:3 · (−1 − 1) − (−2 − 5) = −6 + 7 = 1 ✓

Na egzaminie najwięcej punktów ucieka przez minus przed nawiasem. Zmieniasz znak każdego wyrazu, także ostatniego: −(4x − 5) to −4x + 5, a nie −4x − 5.

5 Mnożenie sum

Dwie sumy mnożymy „każdy z każdym”: każdy wyraz pierwszego nawiasu przez każdy wyraz drugiego. Potem redukujemy wyrazy podobne.

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

Na przykład:

(x + 2)(x + 3) = x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6

Tak samo liczymy kwadrat sumy – zapisujemy go jako iloczyn dwóch jednakowych nawiasów:

(a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²

Uwaga: (a + b)² nie jest równe a² + b² – brakuje środkowego wyrazu 2ab. Sprawdź na liczbach a = 1, b = 2:(1 + 2)² = 9, a 1² + 2² = 5W następnej sekcji zobaczysz, skąd się bierze ten brakujący kawałek pola.

6 Podstaw i zobacz – pobaw się

W trybie „Wartość wyrażenia” wybierz wyrażenie i przesuwaj x – zobaczysz podstawienie krok po kroku, a na wykresie wartości dla wszystkich x od −5 do 5 (słupek możesz kliknąć). W trybie „Prostokąt” zobaczysz, dlaczego mnożymy sumy „każdy z każdym”.

7 Geometria i typowe błędy

W zadaniach z figurami długości boków często są wyrażeniami. Obwód to suma długości boków, a pole prostokąta to iloczyn jego boków – czyli mnożenie sum.

Przykład 3. Prostokąt ma boki długości 2x + 1 oraz x + 3. Zapisz jego obwód i pole w najprostszej postaci, a potem oblicz je dla x = 3.
  1. Obwód to dwa razy każdy bok:2(2x + 1) + 2(x + 3) = 4x + 2 + 2x + 6Obw = 6x + 8
  2. Pole to iloczyn boków – mnożymy „każdy z każdym”:(2x + 1)(x + 3) = 2x² + 6x + x + 3P = 2x² + 7x + 3
  3. Dla x = 3 boki mają długości:2 · 3 + 1 = 73 + 3 = 6
  4. Wstawiamy x = 3 do wzorów:Obw = 6 · 3 + 8 = 26P = 2 · 3² + 7 · 3 + 3 = 18 + 21 + 3 = 42
  5. Sprawdzenie na bokach 7 i 6:2 · 7 + 2 · 6 = 26 ✓7 · 6 = 42 ✓

Najczęstsze błędy:

  • Minus przed nawiasem zmienia tylko pierwszy znak. Źle: 5 − (x − 2) = 5 − x − 2. Dobrze: 5 − x + 2 = 7 − x.
  • Dodawanie wyrazów niepodobnych. 2x + 3 ≠ 5x, a 3x + 2x² ≠ 5x³. Takich wyrażeń nie upraszczamy.
  • Kwadrat sumy „na skróty”. (a + b)² ≠ a² + b² – rozpisz (a + b)(a + b) i pomnóż każdy z każdym.
  • Liczba ujemna bez nawiasu. Dla x = −3 wyrażenie x² to (−3)² = 9, a nie −9.
  • Nie cały nawias pomnożony. 3(x + 4) to 3x + 12, a nie 3x + 4.

8 Sprawdź się

Przećwicz na zadaniach z egzaminów

W banku są zadania CKE i warianty Matmoo z działu Wyrażenia algebraiczne – z podpowiedziami i rozwiązaniami.

Powtórz dział „Wyrażenia algebraiczne” (E8) Otwórz bank zadań