Lekcja · egzamin ósmoklasisty

Zadania tekstowe

Jak czytać treść, oznaczać niewiadomą, układać równanie i sprawdzać wynik. Wiek, ceny i reszta, prędkość – droga – czas, części całości, zegar i kalendarz. Około 20 minut.

  1. Metoda 4 kroków
  2. Zadania o wieku
  3. Ceny i reszta
  4. Prędkość, droga, czas
  5. Ruch na odcinku – pobaw się
  6. Części, zegar i kalendarz
  7. Zadania otwarte na egzaminie
  8. Sprawdź się

1 Metoda 4 kroków

Każde zadanie tekstowe – o wieku, o zakupach czy o pociągach – rozwiązujesz tym samym schematem. Nie zaczynaj od liczenia, tylko od zrozumienia treści.

1Czytam i wypisuję daneCo wiem? Co jest pytaniem? Podkreśl liczby i jednostki.
2Oznaczam niewiadomą„x – …” z jednostką. Robię rysunek albo tabelkę.
3Układam równanieZamieniam zdanie z treści na równanie i je rozwiązuję.
4Sprawdzam i odpowiadamSprawdzam wynik z treścią i piszę odpowiedź zdaniem.

Najważniejszy jest krok 3 – tłumaczenie zdań na język matematyki. Kilka typowych „słówek”:

w treścizapis
o 5 więcej niż xx + 5
o 5 mniej niż xx − 5
3 razy więcej niż x3x
połowa xx / 2
suma x i y wynosi 20x + y = 20

Uwaga: sprawdzaj wynik z treścią zadania, a nie z ułożonym równaniem. Jeśli równanie jest źle ułożone, wynik będzie do niego pasował – ale do treści już nie.

2 Zadania o wieku

Jeśli ktoś ma teraz w lat, to:

za x lat: w + x   ·   x lat temu: w − x

Na przykład ojciec ma teraz 40 lat. Przed 5 laty miał

40 − 5 = 35 lat

Czas płynie dla wszystkich tak samo: za x lat każda osoba będzie o x lat starsza, a różnica wieku się nie zmienia. Pomaga tabelka: wiersze – osoby, kolumny – „teraz” i „za x lat” (albo „x lat temu”).

Przykład 1. Mama ma 36 lat, a jej córka 8 lat. Za ile lat mama będzie 3 razy starsza od córki?
  1. Dane i niewiadoma. Oznaczamy: x – liczba lat, po których mama będzie 3 razy starsza. Robimy tabelkę:
    terazza x lat
    mama3636 + x
    córka88 + x
  2. Równanie. Za x lat wiek mamy ma być 3 razy większy od wieku córki:36 + x = 3 · (8 + x)
  3. Rozwiązujemy – najpierw mnożymy nawias:36 + x = 24 + 3x36 − 24 = 3x − x12 = 2xx = 6
  4. Sprawdzenie z treścią. Za 6 lat mama i córka będą miały:36 + 6 = 428 + 6 = 1442 = 3 · 14 ✓Odpowiedź: Mama będzie 3 razy starsza od córki za 6 lat.

Typowy błąd: dodanie x tylko do wieku jednej osoby. Równanie 36 + x = 3 · 8 jest złe – córka też się starzeje!

3 Ceny i reszta

W zadaniach o zakupach przydają się dwa proste związki:

koszt = cena · liczba sztuk
reszta = zapłacono − koszt

Jeśli znasz resztę, najpierw oblicz, ile naprawdę wydano. Na przykład zapłacono banknotem 100 zł i otrzymano 37 zł reszty, więc zakupy kosztowały

100 − 37 = 63 zł
Przykład 2. Ola kupiła 4 zeszyty i 3 długopisy. Długopis jest o 2 zł tańszy od zeszytu. Zapłaciła banknotem 50 zł i otrzymała 21 zł reszty. Ile kosztował jeden zeszyt, a ile jeden długopis?
  1. Dane. Obliczamy, ile Ola wydała:50 − 21 = 29 zł
  2. Niewiadoma. x – cena zeszytu (w zł). Długopis jest o 2 zł tańszy, więc kosztuje:x − 2
  3. Równanie. 4 zeszyty i 3 długopisy kosztowały razem 29 zł:4x + 3 · (x − 2) = 294x + 3x − 6 = 297x = 35x = 5Cena długopisu:5 − 2 = 3 zł
  4. Sprawdzenie z treścią. Koszt zakupów i reszta:4 · 5 + 3 · 3 = 20 + 9 = 29 zł50 − 29 = 21 zł ✓Odpowiedź: Zeszyt kosztował 5 zł, a długopis 3 zł.

Uwaga: „o 2 zł tańszy” to odejmowanie (x − 2), a „2 razy tańszy” to dzielenie (x / 2). Czytaj te słowa bardzo uważnie.

4 Prędkość, droga, czas

Prędkość to droga przebyta w jednostce czasu. Jeden wzór – trzy wersje:

v = s / t   ·   s = v · t   ·   t = s / v

v – prędkość, s – droga, t – czas. Na przykład rowerzysta przejechał 36 km w 2 h, więc jechał z prędkością

v = 36 : 2 = 18 km/h

Zamiana jednostek. Jedna godzina to 3600 sekund, a jeden kilometr to 1000 metrów, dlatego

1 m/s = 3,6 km/h

Z km/h na m/s – dzielimy przez 3,6:

72 km/h = 72 : 3,6 m/s = 20 m/s

Z m/s na km/h – mnożymy przez 3,6:

15 m/s = 15 · 3,6 km/h = 54 km/h

Minuty na godziny. Dzielimy przez 60. Na przykład 45 minut to

45 min = 45/60 h = 3/4 h = 0,75 h

Uwaga na egzaminie: jednostki muszą do siebie pasować – km z godzinami, metry z sekundami. I pamiętaj: 1 h 30 min to 1,5 h, a nie 1,3 h, bo 30 minut to pół godziny.

5 Ruch na odcinku – pobaw się

Dwa pojazdy wyjeżdżają jednocześnie z miejscowości A i B i jadą naprzeciw siebie. W każdej godzinie odległość między nimi maleje o sumę ich prędkości, dlatego czas do spotkania to

t = s / (v₁ + v₂)

Zmieniaj odległość i prędkości, a potem kliknij „Jedź!”.

Przykład 3. Z miast A i B odległych o 210 km wyjechały jednocześnie naprzeciw siebie dwa samochody: z A z prędkością 60 km/h, a z B z prędkością 80 km/h. Po jakim czasie i w jakiej odległości od A się spotkają?
  1. Dane i rysunek. Mamy s = 210 km, v₁ = 60 km/h, v₂ = 80 km/h. Niewiadoma: t – czas jazdy do spotkania (w h). Rysunek – jak w widżecie powyżej.
  2. Równanie. Do spotkania oba samochody razem pokonają całą trasę:60t + 80t = 210140t = 210t = 210 : 140 = 1,5 h
  3. Zamieniamy na godziny i minuty:1,5 h = 1 h 30 min
  4. Miejsce spotkania – droga samochodu z A:s₁ = 60 · 1,5 = 90 km
  5. Sprawdzenie z treścią. Samochód z B przejechał:s₂ = 80 · 1,5 = 120 km90 + 120 = 210 km ✓Odpowiedź: Samochody spotkają się po 1 h 30 min, w odległości 90 km od A.

Uwaga: gdy pojazdy jadą w tę samą stronę (jeden goni drugiego), odległość między nimi maleje o różnicę prędkości, a nie o sumę.

6 Części, zegar i kalendarz

Ułamek całości. Żeby obliczyć część, mnożymy ułamek przez całość:

część = ułamek · całość

Z 30 uczniów 2/5 dojeżdża autobusem. To

2/5 · 30 = 12 uczniów

Gdy znasz część, a szukasz całości – dzielisz przez ułamek. Jeśli 1/4 książki to 60 stron, cała książka ma

60 : 1/4 = 60 · 4 = 240 stron

Pułapka „reszty”: Tomek przeczytał 1/3 książki, a potem 1/4 reszty. Reszta to 2/3 książki, więc drugiego dnia przeczytał1/4 · 2/3 = 2/12 = 1/6 książki– a nie 1/4 całej książki.

Zegar. Pamiętaj, że 1 h = 60 min, a doba ma 24 h. Czas trwania najłatwiej liczyć „do pełnej godziny”. Od 7:45 do 9:20 mija:

7:45 → 8:00: 15 min 8:00 → 9:20: 1 h 20 min razem: 1 h 35 min = 95 min

Kalendarz. Miesiące mają 30 lub 31 dni, luty – 28 (w roku przestępnym 29). Dni tygodnia powtarzają się co 7 dni, więc liczy się reszta z dzielenia przez 7. Jeśli 1 września wypada w poniedziałek, to 1 października jest 30 dni później:

30 = 4 · 7 + 2

Poniedziałek + 2 dni – to środa.

Typowy błąd: liczenie dni „od–do” włącznie. Od 3 do 10 maja włącznie jest10 − 3 + 1 = 8 dni– a nie 7.

7 Zadania otwarte na egzaminie

Na egzaminie ósmoklasisty za zadanie otwarte dostajesz punkty także za dobrą metodę – nawet gdy pomylisz się w rachunkach. Dlatego egzaminator musi widzieć, jak myślisz:

  • Opisz niewiadomą słowami i z jednostką, np. „x – cena zeszytu w zł”.
  • Zapisz pełny tok obliczeń – równanie i kolejne przekształcenia, a nie sam wynik.
  • Pilnuj jednostek – przy wyniku i przy każdej zamianie (min → h, km/h → m/s).
  • Sprawdź wynik z treścią – czy ma sens? Wiek nie może być ujemny, a cena długopisu nie może wynosić 300 zł.
  • Napisz odpowiedź pełnym zdaniem, odpowiadając dokładnie na pytanie. Jeśli pytają o dwie rzeczy (czas i miejsce), podaj obie.

Najczęstsze błędy:

  • Odpowiedź na inne pytanie niż zadane – np. podanie ceny zeszytu, gdy pytają o cenę długopisu.
  • Mieszanie jednostek – kilometry z minutami, złotówki z groszami.
  • Zapis 1,3 h zamiast 1 h 30 min (albo 1,5 h).
  • Zapomniana reszta przy części „reszty” albo przy liczeniu dni włącznie.
  • Brak odpowiedzi zdaniem – samo „x = 6” to jeszcze nie odpowiedź.

8 Sprawdź się

Przećwicz na zadaniach z egzaminów

W banku są zadania CKE i warianty Matmoo z działu Zadania tekstowe – z podpowiedziami i rozwiązaniami.

Powtórz dział „Zadania tekstowe” (E8) Otwórz bank zadań