Figury na płaszczyźnie
Kąty, trójkąty i czworokąty, pola i obwody wielokątów oraz układ współrzędnych – wszystko, czego potrzeba na sprawdzian w klasie 7. Około 20 minut.
1 Kąty
Kąty przyległe mają wspólne ramię, a dwa pozostałe ramiona tworzą prostą – razem dają 180°. Kąty wierzchołkowe leżą naprzeciw siebie przy przecięciu dwóch prostych i są równe.
Gdy dwie proste równoległe przetniemy trzecią prostą, kąty odpowiadające i naprzemianległe są równe.
- Kąt wierzchołkowy do kąta 58° też ma 58°.
- Kąt przyległy do kąta 58°:180° − 58° = 122°
- Czwarty kąt jest wierzchołkowy do kąta 122°: 122°. Kąty: 58°, 122°, 58°, 122°.
2 Trójkąty
Suma kątów w każdym trójkącie jest równa 180°.
Rodzaje trójkątów: ze względu na kąty – ostrokątny, prostokątny (jeden kąt 90°), rozwartokątny (jeden kąt większy niż 90°); ze względu na boki – równoboczny (kąty po 60°), równoramienny (kąty przy podstawie równe), różnoboczny.
Nierówność trójkąta: trójkąt da się zbudować tylko wtedy, gdy najdłuższy bok jest krótszy od sumy dwóch pozostałych. Z odcinków 3 cm, 4 cm i 8 cm trójkąta nie zbudujesz (3 + 4 < 8).
- Na kąty przy podstawie zostaje:180° − 40° = 140°
- Kąty przy podstawie są równe:140° : 2 = 70°
3 Czworokąty
Suma kątów w każdym czworokącie jest równa 360° (przekątna dzieli go na dwa trójkąty).
| czworokąt | najważniejsze własności |
|---|---|
| kwadrat | wszystkie boki równe, wszystkie kąty proste, przekątne równe i prostopadłe |
| prostokąt | kąty proste, przeciwległe boki równe, przekątne równe |
| romb | wszystkie boki równe, przekątne prostopadłe i dzielą się na połowy |
| równoległobok | dwie pary boków równoległych, przeciwległe kąty równe, sąsiednie kąty dają 180° |
| trapez | co najmniej jedna para boków równoległych (podstawy); kąty przy tym samym ramieniu dają 180° |
Każdy kwadrat jest prostokątem i rombem, ale nie każdy prostokąt jest kwadratem. Każdy romb i prostokąt jest równoległobokiem.
4 Pola i obwody
Obwód to suma długości wszystkich boków. Pole mierzymy w jednostkach kwadratowych: cm², m².
| figura | pole |
|---|---|
| prostokąt | a · b |
| kwadrat | a² |
| równoległobok | a · h |
| romb | a · h albo ½ · e · f |
| trójkąt | ½ · a · h |
| trapez | ½ · (a + b) · h |
h – wysokość opuszczona na bok a (w trapezie: odległość między podstawami a i b); e, f – przekątne rombu.
- Suma podstaw:9 + 5 = 14 cm
- Pole:½ · 14 · 4 = 28 cm²
Typowe błędy: różne jednostki (najpierw zamień 0,5 m na 50 cm), zapomniane ½ w polu trójkąta i trapezu, bok zamiast wysokości w równoległoboku.
5 Kąty wielokątów
Wielokąt o n bokach da się podzielić przekątnymi wychodzącymi z jednego wierzchołka na n − 2 trójkąty, więc:
Wielokąt foremny ma wszystkie boki i wszystkie kąty równe – jeden kąt to suma kątów podzielona przez n.
- Suma kątów sześciokąta:(6 − 2) · 180° = 720°
- Kąty są równe:720° : 6 = 120°
6 Układ współrzędnych
Punkt w układzie współrzędnych zapisujemy jako (x, y): najpierw współrzędna pozioma, potem pionowa. Osie dzielą płaszczyznę na cztery ćwiartki:
| ćwiartka | znaki współrzędnych |
|---|---|
| I | x > 0, y > 0 |
| II | x < 0, y > 0 |
| III | x < 0, y < 0 |
| IV | x > 0, y < 0 |
Długość odcinka poziomego to różnica pierwszych współrzędnych, a pionowego – różnica drugich. Odcinek od (−2, 3) do (5, 3) ma długość 5 − (−2) = 7.
Odcinki ukośne, okrąg i koło oraz twierdzenie Pitagorasa poznasz w klasie 8 – są w lekcji Figury płaskie (egzamin ósmoklasisty).
7 Sprawdź się
Przećwicz na zadaniach
W banku „Klasa 7” są zadania z działu Figury na płaszczyźnie – z egzaminów CKE (te, które da się rozwiązać materiałem klasy 7) i zadania Matmoo, z podpowiedziami i rozwiązaniami.