Graniastosłupy
Graniastosłup prosty: ile ma wierzchołków, krawędzi i ścian, jak wygląda jego siatka, jak policzyć pole powierzchni i objętość – i ile litrów zmieści akwarium. Około 15 minut.
- Co to jest graniastosłup
- Wierzchołki, krawędzie, ściany
- Siatka i pole powierzchni
- Objętość
- Litry, dm³ i typowe błędy
- Sprawdź się
1 Co to jest graniastosłup
Graniastosłup ma dwie jednakowe, równoległe podstawy (wielokąty), a jego ściany boczne to prostokąty (w graniastosłupie prostym). Odległość między podstawami to wysokość H – w graniastosłupie prostym jest równa krawędzi bocznej.
Nazwa mówi, co jest w podstawie: graniastosłup trójkątny, czworokątny, sześciokątny. Prawidłowy oznacza, że w podstawie jest wielokąt foremny: w prawidłowym czworokątnym – kwadrat, w prawidłowym trójkątnym – trójkąt równoboczny.
Prostopadłościan to graniastosłup, którego wszystkie ściany są prostokątami, a sześcian – prostopadłościan o wszystkich krawędziach równych.
2 Wierzchołki, krawędzie, ściany
Wszystko zależy od n – liczby boków podstawy:
| graniastosłup n-kątny | sześciokątny (n = 6) | |
|---|---|---|
| wierzchołki | 2n | 12 |
| krawędzie | 3n | 18 |
| ściany | n + 2 | 8 |
Dwie podstawy mają po n wierzchołków, a krawędzie to n w dolnej podstawie, n w górnej i n bocznych. Ścian jest n bocznych i 2 podstawy.
- Krawędzi jest 3n:3n = 15, n = 5
- Wierzchołki:2 · 5 = 10
- Ściany:5 + 2 = 7
3 Siatka i pole powierzchni
Siatka graniastosłupa prostego to dwie podstawy i prostokąty ścian bocznych. Pole powierzchni całkowitej to suma pól wszystkich ścian:
Pp – pole podstawy, Pb – pole powierzchni bocznej (obwód podstawy razy wysokość). Dla prostopadłościanu o krawędziach a, b, c:
- W podstawie jest kwadrat:Pp = 4 · 4 = 16 cm²
- Ściany boczne to 4 prostokąty 4 cm × 10 cm:Pb = 4 · 4 · 10 = 160 cm²
- Dwie podstawy i ściany boczne:Pc = 2 · 16 + 160 = 192 cm²
4 Objętość
Objętość graniastosłupa to pole podstawy razy wysokość:
Dla prostopadłościanu: V = a · b · c, dla sześcianu: V = a³.
- Pole podstawy (trójkąt prostokątny):Pp = ½ · 6 · 8 = 24 cm²
- Objętość:V = 24 · 12 = 288 cm³
5 Litry, dm³ i typowe błędy
| to | |
|---|---|
| 1 l | 1 dm³ = 1000 cm³ |
| 1 ml | 1 cm³ |
| 1 m³ | 1000 dm³ = 1000 l |
- Zamień na decymetry:6 dm · 3 dm · 4 dm
- Objętość:V = 72 dm³ = 72 l
Typowe błędy: jedna podstawa zamiast dwóch w polu powierzchni; mieszanie jednostek (cm z m); liczenie 1 m³ = 100 l (a to 1000 l).
Ostrosłupy, przekątna prostopadłościanu i bryły obrotowe – w klasie 8, w lekcji Figury przestrzenne (egzamin ósmoklasisty).
6 Sprawdź się
Przećwicz na zadaniach
W banku „Klasa 7” są zadania z działu Graniastosłupy – z egzaminów CKE (te, które da się rozwiązać materiałem klasy 7) i zadania Matmoo, z podpowiedziami i rozwiązaniami.