Ciągi

1 Ciąg i wzór ogólny

Ciąg liczbowy to ponumerowana lista liczb: pierwszy wyraz a₁, drugi a₂, trzeci a₃ i tak dalej. Numer wyrazu n jest zawsze liczbą naturalną dodatnią: 1, 2, 3, …

Wzór ogólny mówi, jak obliczyć wyraz o dowolnym numerze n, na przykład

Wstawiając kolejne numery, dostajemy wyrazy:

• Obliczanie wyrazu: za n wstawiamy numer wyrazu.
• Który wyraz ma daną wartość? Przyrównujemy wzór do tej wartości i rozwiązujemy równanie z niewiadomą n. Wynik musi być liczbą naturalną dodatnią – jeśli nie jest, to taki wyraz w ciągu nie występuje.

2 Ciąg arytmetyczny

W ciągu arytmetycznym każdy następny wyraz powstaje przez dodanie tej samej liczby r, zwanej różnicą ciągu:

Wzór na n-ty wyraz (od a₁ do aₙ jest n − 1 „kroków” o r):

Suma n początkowych wyrazów:

albo – gdy nie znasz aₙ – w postaci

Warunek na trzy kolejne wyrazy. Liczby a, b, c (w tej kolejności) tworzą ciąg arytmetyczny wtedy i tylko wtedy, gdy środkowa jest średnią arytmetyczną sąsiednich:

3 Rosnący, malejący, stały

O monotoniczności ciągu arytmetycznego decyduje wyłącznie znak różnicy r:

Gdy wzór ogólny jest liniowy, aₙ = pn + k, ciąg jest arytmetyczny i r = p. Na przykład dla aₙ = 7 − 2n:

więc r = −2 < 0 i ciąg jest malejący.

Uwaga na egzaminie: żeby wykazać, że ciąg jest arytmetyczny (albo zbadać monotoniczność), policz różnicę aₙ₊₁ − aₙ dla dowolnego n. Sprawdzenie kilku pierwszych wyrazów to nie dowód.

4 Ciąg geometryczny

W ciągu geometrycznym każdy następny wyraz powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez tę samą liczbę q, zwaną ilorazem ciągu:

Wzór na n-ty wyraz (od a₁ do aₙ jest n − 1 mnożeń przez q):

Suma n początkowych wyrazów:

Warunek na trzy kolejne wyrazy. Liczby a, b, c (w tej kolejności) tworzą ciąg geometryczny, gdy

Na przykład liczby 4, x, 9 tworzą ciąg geometryczny, gdy

Stąd dwa rozwiązania (chyba że treść mówi o wyrazach dodatnich):

5 Wyrazy na wykresie – pobaw się

Wybierz rodzaj ciągu i przesuwaj suwaki. Słupki to osiem pierwszych wyrazów, a suma S₈ liczy się na bieżąco.

6 Raty, lokaty i typowe błędy

Raty malejące o stałą kwotę → ciąg arytmetyczny. Pan Jan spłaca pożyczkę w 12 ratach. Pierwsza wynosi 500 zł, a każda następna jest o 20 zł mniejsza (r = −20). Ostatnia rata i łączna kwota to:

Lokata z procentem składanym → ciąg geometryczny. Po każdym roku kapitał rośnie o p%, czyli mnoży się przez q = 1 + p/100. Po n latach:

Na przykład 2000 zł na lokacie 5% w skali roku (kapitalizacja roczna) po 3 latach:

Uwaga: tu wykładnik to n, a nie n − 1 – ciąg zaczyna się od K (kapitał „po 0 latach”), więc K₃ jest po trzech mnożeniach przez 1,05.

Typowe błędy

• Wykładnik n zamiast n − 1. Do piątego wyrazu prowadzą tylko cztery kroki:a₅ = a₁ · q⁴ (nie a₁ · q⁵)a₅ = a₁ + 4r (nie a₁ + 5r)
• Wzór na sumę geometryczną przy q = 1. Mianownik 1 − q jest wtedy zerem, a przez zero nie dzielimy. Ciąg jest stały, więc:Sₙ = n · a₁
• Zgubione rozwiązanie z b² = ac. Równanie kwadratowe ma zwykle dwa rozwiązania:x² = 36 ⇒ x = 6 lub x = −6Odrzucaj jedno z nich tylko wtedy, gdy treść to uzasadnia.
• Mylenie r i q. Różnicę liczymy, odejmując, a iloraz – dzieląc:r = a₂ − a₁q = a₂ / a₁
• Numer wyrazu niecałkowity lub ujemny. Jeśli z równania wychodzi na przykład n = 7,5 albo n = −2, to taki wyraz w ciągu nie istnieje.

7 Sprawdź się