Lekcja · matura podstawowa

Funkcja liniowa

Wzór y = ax + b, wykres, kiedy rośnie, gdzie przecina osie i jak znaleźć wzór prostej przez dwa punkty. Około 15 minut.

  1. Wzór i współczynniki
  2. Wykres – pobaw się
  3. Rosnąca, malejąca, stała
  4. Miejsce zerowe i punkt na osi y
  5. Prosta przez dwa punkty
  6. Proste równoległe i prostopadłe
  7. Sprawdź się

1 Wzór i współczynniki

Funkcja liniowa to funkcja określona wzorem

f(x) = ax + b
  • a – współczynnik kierunkowy: mówi, jak stromo i w którą stronę biegnie prosta. Gdy x wzrośnie o 1, y zmieni się o a.
  • b – wyraz wolny: wykres przecina oś y w punkcie (0, b).

Wykresem funkcji liniowej jest zawsze prosta. Do jej narysowania wystarczą dwa punkty.

2 Wykres – pobaw się

Przesuwaj suwaki i patrz, co dzieje się z prostą.

3 Rosnąca, malejąca, stała

a > 0
funkcja rosnąca
prosta „idzie w górę”
a < 0
funkcja malejąca
prosta „idzie w dół”
a = 0
funkcja stała
prosta pozioma y = b

Uwaga na egzaminie: o monotoniczności decyduje tylko a. Wyraz wolny b przesuwa prostą w górę lub w dół, ale nie zmienia jej nachylenia.

4 Miejsce zerowe i punkt na osi y

Miejsce zerowe to argument, dla którego wartość funkcji jest równa 0 – tam wykres przecina oś x. Rozwiązujemy równanie:

ax + b = 0
x₀ = −b / a (dla a ≠ 0)
Przykład 1. Wyznacz miejsce zerowe funkcji f(x) = −2x + 6 i punkt przecięcia wykresu z osią y.
  1. Przyrównujemy wzór do zera:−2x + 6 = 0
  2. Przenosimy 6 na prawą stronę:−2x = −6
  3. Dzielimy obie strony przez −2:x = 3Wykres przecina oś x w punkcie (3, 0).
  4. Punkt na osi y – wstawiamy x = 0:f(0) = −2 · 0 + 6 = 6Wykres przecina oś y w punkcie (0, 6).

5 Prosta przez dwa punkty

Gdy znasz dwa punkty wykresu A = (x₁, y₁) i B = (x₂, y₂), współczynnik kierunkowy obliczysz ze wzoru

a = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)

a potem b – wstawiając współrzędne jednego z punktów do wzoru y = ax + b.

Przykład 2. Wyznacz wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez punkty A = (1, 1) i B = (3, 5).
  1. Obliczamy współczynnik kierunkowy:a = (5 − 1) / (3 − 1) = 4 / 2 = 2
  2. Wstawiamy współrzędne punktu A = (1, 1) do wzoru y = 2x + b:1 = 2 · 1 + b
  3. Obliczamy b:b = 1 − 2 = −1
  4. Szukany wzór:y = 2x − 1Sprawdzenie dla B = (3, 5):2 · 3 − 1 = 5 ✓

6 Proste równoległe i prostopadłe

Dla prostych y = a₁x + b₁ oraz y = a₂x + b₂:

  • są równoległe, gdy a₁ = a₂ (to samo nachylenie),
  • są prostopadłe, gdy a₁ · a₂ = −1.
Przykład 3. Wyznacz wzór prostej prostopadłej do y = 2x + 3, przechodzącej przez punkt P = (4, 1).
  1. Z warunku prostopadłości:2 · a = −1a = −1/2
  2. Wstawiamy współrzędne punktu P = (4, 1) do wzoru y = −1/2 x + b:1 = −1/2 · 4 + b1 = −2 + b
  3. Obliczamy b:b = 3
  4. Szukana prosta:y = −1/2 x + 3

7 Sprawdź się

Przećwicz na zadaniach z egzaminów

W banku są zadania CKE i warianty Matmoo z działu Funkcje – z podpowiedziami i rozwiązaniami.

Powtórz dział „Funkcje” (matura) Otwórz bank zadań