Lekcja · matura podstawowa

Funkcje

Dziedzina i zbiór wartości, czytanie wykresu, przesunięcia, funkcja kwadratowa i jej wierzchołek, wartość najmniejsza i największa. Około 25 minut.

  1. Funkcja, dziedzina, zbiór wartości
  2. Czytanie wykresu
  3. Przesunięcia i odbicia
  4. Funkcja kwadratowa
  5. Parabola – pobaw się
  6. Najmniejsza i największa wartość
  7. Proporcjonalność odwrotna
  8. Sprawdź się

1 Funkcja, dziedzina, zbiór wartości

Funkcja to przyporządkowanie, które każdemu argumentowi x z pewnego zbioru przypisuje dokładnie jedną wartość f(x). Na wykresie: każda pionowa prosta przecina wykres funkcji co najwyżej w jednym punkcie.

  • Dziedzina D – zbiór wszystkich argumentów x, dla których funkcja jest określona.
  • Zbiór wartości ZW – zbiór wszystkich wartości f(x), jakie funkcja przyjmuje.

Gdy dziedzina nie jest podana, bierzemy wszystkie liczby rzeczywiste, dla których wzór ma sens. Pilnujemy dwóch rzeczy:

  • mianownik ≠ 0, na przykład dla f(x) = (x + 1)/(x − 3):x − 3 ≠ 0 ⇒ D = ℝ \ {3}
  • pod pierwiastkiem kwadratowym ≥ 0, na przykład dla g(x) = √(x − 2):x − 2 ≥ 0 ⇒ D = [2; +∞)

Obliczanie wartości to wstawienie liczby za x, na przykład dla f(x) = x² − 3x:

f(−2) = (−2)² − 3 · (−2) = 4 + 6 = 10

Uwaga na egzaminie: liczbę ujemną wstawiaj w nawiasie. Częsty błąd to zgubienie nawiasu:(−2)² = 4, a −2² = −4

Funkcji liniowej y = ax + b poświęcona jest osobna lekcja: Funkcja liniowa.

2 Czytanie wykresu

Na rysunku jest wykres funkcji f określonej na przedziale [−5; 5]. Z wykresu odczytujemy:

WłasnośćJak odczytaćTutaj
dziedzinarzut wykresu na oś x[−5; 5]
zbiór wartościrzut wykresu na oś y[−4; 4]
miejsca zerowepunkty wspólne z osią x−4, 0, 4
rosnącawykres idzie w górę (patrzymy od lewej)[−5; −2] oraz
[2; 5]
malejącawykres idzie w dół[−2; 2]
wartość największanajwyższy punkt wykresu4
dla x = −2
wartość najmniejszanajniższy punkt wykresu−4
dla x = 2
f(x) > 0część wykresu nad osią x(−4; 0) ∪ (4; 5]

Uwaga na egzaminie: przedziały monotoniczności i zbiór f(x) > 0 to zbiory argumentów – czytamy je na osi x. Zbiór wartości czytamy na osi y. Przy f(x) > 0 miejsca zerowe odpadają (nawias okrągły), a prawy koniec dziedziny należy do zbioru, bo wartość jest tam dodatnia:f(5) = 2 > 0

3 Przesunięcia i odbicia

Z wykresu y = f(x) dostajemy wykresy innych funkcji:

WzórCo się dzieje z wykresem
y = f(x) + qprzesunięcie o q w górę (dla q < 0 – w dół)
y = f(x − p)przesunięcie o p w prawo (dla p < 0 – w lewo)
y = f(x − p) + qprzesunięcie o wektor u = [p, q]
y = −f(x)odbicie symetryczne względem osi x
y = f(−x)odbicie symetryczne względem osi y

Na przykład dla funkcji f z sekcji 2 (miejsca zerowe −4, 0, 4) wykres y = f(x − 2) jest przesunięty o 2 w prawo, więc jego miejsca zerowe to:

−4 + 2 = −2 0 + 2 = 2 4 + 2 = 6

Wykres y = f(x) + 3 ma zbiór wartości przesunięty o 3 w górę:

[−4 + 3; 4 + 3] = [−1; 7]
  • Typowy błąd: f(x − 2) to przesunięcie w prawo, a f(x + 2) – w lewo. Znak w nawiasie jest „odwrotny” do kierunku.
  • Przy y = −f(x) miejsca zerowe się nie zmieniają, a wartości zmieniają znak. Na przykład zbiór wartości [1; 3] przechodzi w:[−3; −1]
  • Przy y = f(−x) zbiór wartości się nie zmienia, a miejsca zerowe i dziedzina zmieniają znak.

4 Funkcja kwadratowa

Funkcja kwadratowa ma trzy postacie. Postać ogólna:

f(x) = ax² + bx + c, a ≠ 0

Postać kanoniczna – od razu widać wierzchołek paraboli W = (p, q):

f(x) = a(x − p)² + q

Współrzędne wierzchołka obliczamy z wyróżnika:

Δ = b² − 4ac
p = −b / (2a), q = −Δ / (4a)

Zamiast wzoru na q często szybciej jest policzyć wartość w wierzchołku:

q = f(p)

Postać iloczynowa – od razu widać miejsca zerowe x₁, x₂ (istnieje tylko dla Δ ≥ 0):

f(x) = a(x − x₁)(x − x₂)
x₁ = (−b − √Δ) / (2a) x₂ = (−b + √Δ) / (2a)

Dla Δ = 0 jest jedno miejsce zerowe x₀ = p, a dla Δ < 0 – żadnego. Współczynnik a jest we wszystkich postaciach ten sam i decyduje o kształcie wykresu:

a > 0 – ramiona w górę
zbiór wartości:[q; +∞)malejąca na (−∞; p], rosnąca na [p; +∞)
a < 0 – ramiona w dół
zbiór wartości:(−∞; q]rosnąca na (−∞; p], malejąca na [p; +∞)

Uwaga na egzaminie: zbiór wartości zależy od q (drugiej współrzędnej wierzchołka), a przedziały monotoniczności – od p (pierwszej). Wykres jest symetryczny względem prostej x = p. Uważaj na znak p:f(x) = 2(x + 1)² − 5p = −1, q = −5

Przykład 1. Zapisz funkcję f(x) = x² − 6x + 5 w postaci kanonicznej i iloczynowej. Podaj zbiór wartości i przedziały monotoniczności.
  1. Odczytujemy współczynniki i liczymy wyróżnik:a = 1, b = −6, c = 5Δ = (−6)² − 4 · 1 · 5 = 36 − 20 = 16
  2. Współrzędne wierzchołka:p = −(−6) / (2 · 1) = 3q = −16 / (4 · 1) = −4Sprawdzenie:f(3) = 9 − 18 + 5 = −4 ✓
  3. Postać kanoniczna:f(x) = (x − 3)² − 4
  4. Miejsca zerowe (√Δ = 4) i postać iloczynowa:x₁ = (6 − 4) / 2 = 1x₂ = (6 + 4) / 2 = 5f(x) = (x − 1)(x − 5)
  5. a = 1 > 0, więc ramiona są skierowane w górę:ZW = [−4; +∞)Funkcja jest malejąca na (−∞; 3] i rosnąca na [3; +∞).

5 Parabola – pobaw się

Suwaki zmieniają współczynniki postaci kanonicznej y = a(x − p)² + q. Zobacz, co robi każdy z nich: a – kształt i kierunek ramion, p i q – położenie wierzchołka.

6 Najmniejsza i największa wartość w przedziale

Na całej prostej funkcja kwadratowa ma tylko jedną wartość skrajną – w wierzchołku: q jest wartością najmniejszą dla a > 0 i największą dla a < 0. Gdy pytają o przedział domknięty [m; n], postępujemy tak:

  1. Obliczamy p – pierwszą współrzędną wierzchołka.
  2. Jeśli p ∈ [m; n], obliczamy f(p).
  3. Obliczamy wartości na końcach przedziału: f(m) i f(n).
  4. Z otrzymanych liczb wybieramy najmniejszą i największą.

Uwaga na egzaminie: gdy wierzchołek leży poza przedziałem, f(p) w ogóle nie bierzemy pod uwagę – funkcja jest wtedy na [m; n] monotoniczna i obie wartości skrajne są na końcach.

Przykład 2. Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji f(x) = −x² + 4x + 1 w przedziale [0; 5].
  1. Pierwsza współrzędna wierzchołka:p = −4 / (2 · (−1)) = 22 ∈ [0; 5], więc wierzchołek leży w przedziale.
  2. Wartość w wierzchołku:f(2) = −4 + 8 + 1 = 5
  3. Wartości na końcach przedziału:f(0) = 1f(5) = −25 + 20 + 1 = −4
  4. Porównujemy liczby 5, 1 i −4:wartość największa: 5 (dla x = 2)wartość najmniejsza: −4 (dla x = 5)

7 Proporcjonalność odwrotna

Wielkości x i y są odwrotnie proporcjonalne, gdy ich iloczyn jest stały: x · y = a. Funkcja ma wzór

f(x) = a / x, a ≠ 0

Jej wykresem jest hiperbola. Dziedzina i zbiór wartości są takie same:

D = ℝ \ {0}, ZW = ℝ \ {0}
  • a > 0: gałęzie w I i III ćwiartce, funkcja maleje w (−∞; 0) i osobno w (0; +∞);
  • a < 0: gałęzie w II i IV ćwiartce, funkcja rośnie w (−∞; 0) i osobno w (0; +∞).
Przykład 3. Wykres funkcji f(x) = a/x przechodzi przez punkt P = (2, −6). Wyznacz a oraz oblicz f(−3) i f(4).
  1. Wstawiamy współrzędne punktu P:−6 = a / 2
  2. Mnożymy obie strony przez 2:a = −12f(x) = −12 / x
  3. Obliczamy wartości:f(−3) = −12 / (−3) = 4f(4) = −12 / 4 = −3
  4. Sprawdzenie – dla każdego punktu wykresu iloczyn współrzędnych jest równy a. Punkty (−3, 4), (4, −3) i (2, −6):(−3) · 4 = −12 ✓4 · (−3) = −12 ✓2 · (−6) = −12 ✓

Typowy błąd: „funkcja y = 6/x jest malejąca w ℝ \ {0}” – to nieprawda, bo:f(−1) = −6 < 6 = f(1)Funkcja maleje tylko w każdym z przedziałów (−∞; 0) i (0; +∞) osobno.

8 Sprawdź się

Przećwicz na zadaniach z egzaminów

W banku są zadania CKE i warianty Matmoo z działu Funkcje – z podpowiedziami i rozwiązaniami.

Powtórz dział „Funkcje” (matura) Otwórz bank zadań