Lekcja · matura podstawowa

Geometria analityczna

Długość i środek odcinka, prosta przez dwa punkty, proste równoległe i prostopadłe, symetralna, okrąg w układzie współrzędnych i symetrie. Około 20 minut.

  1. Długość i środek odcinka
  2. Punkty w układzie – pobaw się
  3. Prosta przez dwa punkty
  4. Równoległe, prostopadłe, symetralna
  5. Równanie okręgu
  6. Symetrie i typowe błędy
  7. Sprawdź się

1 Długość i środek odcinka

Dla punktów A = (x₁, y₁) i B = (x₂, y₂) długość odcinka AB obliczamy z twierdzenia Pitagorasa – różnice współrzędnych to przyprostokątne:

|AB| = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)

Środek odcinka to średnia arytmetyczna współrzędnych końców:

S = ( (x₁ + x₂)/2 , (y₁ + y₂)/2 )

Uwaga na egzaminie: ujemne współrzędne wstawiaj w nawiasach, np.4 − (−2) = 6Kolejność punktów nie ma znaczenia – różnica i tak jest podnoszona do kwadratu. Wynik z pierwiastkiem upraszczaj, np.√52 = √(4 · 13) = 2√13

Przykład 1. Dane są punkty A = (−2, 1) i B = (4, 9). Oblicz długość odcinka AB i wyznacz jego środek.
  1. Obliczamy różnice współrzędnych:x₂ − x₁ = 4 − (−2) = 6y₂ − y₁ = 9 − 1 = 8
  2. Wstawiamy do wzoru na długość:|AB| = √(6² + 8²) = √(36 + 64)|AB| = √100 = 10
  3. Obliczamy współrzędne środka:xS = (−2 + 4)/2 = 2/2 = 1yS = (1 + 9)/2 = 10/2 = 5
  4. Odpowiedź:|AB| = 10, S = (1, 5)

2 Punkty w układzie – pobaw się

Przeciągnij punkty A i B palcem lub myszką (albo ustaw je suwakami). Na dole na bieżąco zobaczysz długość i środek odcinka, współczynnik kierunkowy, równanie prostej AB i równanie okręgu o średnicy AB.

A = (, )
B = (, )

Sprawdź: ustaw A i B tak, żeby prosta była pozioma (a = 0), a potem pionowa – wtedy współczynnika kierunkowego nie ma.

3 Prosta przez dwa punkty

Prostą niepionową zapisujemy w postaci kierunkowej y = ax + b. Gdy prosta przechodzi przez punkty A = (x₁, y₁) i B = (x₂, y₂), gdzie x₁ ≠ x₂, jej współczynnik kierunkowy to

a = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)

Potem najwygodniej skorzystać z równania prostej o współczynniku a przechodzącej przez punkt (x₁, y₁):

y − y₁ = a(x − x₁)

Na przykład dla A = (1, −1) i B = (3, 3) obliczamy współczynnik kierunkowy:

a = (3 − (−1)) / (3 − 1) = 4/2 = 2

Wstawiamy a = 2 i punkt A:

y − (−1) = 2(x − 1) y + 1 = 2x − 2 y = 2x − 3

Sprawdzamy punkt B:

2 · 3 − 3 = 3 ✓

Uwaga na egzaminie: gdy x₁ = x₂, prosta jest pionowa i ma równanie x = x₁ – nie da się jej zapisać jako y = ax + b. Gdy y₁ = y₂, prosta jest pozioma: y = y₁ (a = 0). Zawsze sprawdź wynik, wstawiając drugi punkt.

4 Równoległe, prostopadłe, symetralna

Dla prostych y = a₁x + b₁ oraz y = a₂x + b₂:

równoległea₁ = a₂
prostopadłea₁ · a₂ = −1
symetralna AB
prostopadła do AB, przechodzi przez środek AB

Współczynnik prostej prostopadłej to „odwrotność z przeciwnym znakiem”, na przykład:

a = 3 → −1/3 a = −2/5 → 5/2

Prosta równoległa do y = 3x − 1 przechodząca przez P = (2, 1) ma a = 3. Wstawiamy współrzędne P do y = 3x + b:

1 = 3 · 2 + b b = −5 y = 3x − 5

Symetralna odcinka to zbiór punktów jednakowo odległych od jego końców. Szukamy jej w trzech ruchach: środek odcinka, współczynnik prostej AB, współczynnik prostopadły.

Przykład 2. Wyznacz równanie symetralnej odcinka AB, gdzie A = (1, 2) i B = (5, 6).
  1. Środek odcinka AB:S = ((1 + 5)/2, (2 + 6)/2) = (3, 4)
  2. Współczynnik kierunkowy prostej AB:aAB = (6 − 2) / (5 − 1) = 4/4 = 1
  3. Symetralna jest prostopadła do AB:1 · a = −1a = −1
  4. Prosta o współczynniku −1 przez S = (3, 4):y − 4 = −1 · (x − 3)y − 4 = −x + 3y = −x + 7
  5. Sprawdzenie – punkt S leży na symetralnej:−3 + 7 = 4 ✓

5 Równanie okręgu

Okrąg o środku S = (a, b) i promieniu r > 0 to zbiór punktów (x, y) odległych od S o r. Jego równanie:

(x − a)² + (y − b)² = r²

Odczytując środek, zmieniamy znaki liczb z nawiasów, a promień to pierwiastek z prawej strony. Na przykład z równania

(x + 3)² + (y − 1)² = 7

odczytujemy:

S = (−3, 1), r = √7

Punkt leży na okręgu, gdy po wstawieniu jego współrzędnych lewa strona równania jest równa prawej. Gdy lewa strona jest mniejsza – punkt leży wewnątrz okręgu, gdy większa – na zewnątrz.

Przykład 3. Napisz równanie okręgu o środku S = (2, −1) przechodzącego przez punkt P = (5, 3). Sprawdź, czy punkt Q = (−1, 3) leży na tym okręgu.
  1. Promień to odległość środka od punktu P:r = |SP| = √((5 − 2)² + (3 − (−1))²)r = √(9 + 16) = √25 = 5
  2. Wstawiamy a = 2, b = −1, r = 5 do równania okręgu:(x − 2)² + (y − (−1))² = 5²(x − 2)² + (y + 1)² = 25
  3. Wstawiamy współrzędne punktu Q = (−1, 3) do lewej strony:(−1 − 2)² + (3 + 1)² = 9 + 16 = 25
  4. Lewa strona równa się prawej:25 = 25Punkt Q leży na okręgu.

Uwaga na egzaminie: po prawej stronie jest r², nie r. Brak nawiasu przy y oznacza b = 0. Z równania(x − 1)² + y² = 16wynikaS = (1, 0), r = 4

6 Symetrie i typowe błędy

Obraz punktu P = (x, y) w symetrii:

względem osi Oxwzględem osi Oywzględem (0, 0)
(x, −y)(−x, y)(−x, −y)

Na przykład dla P = (3, −2):

względem Ox: (3, 2) względem Oy: (−3, −2) względem początku układu: (−3, 2)

Zapamiętaj: przy symetrii względem osi zmienia się ta współrzędna, która nie odpowiada tej osi (względem Ox zmienia się y). Symetria względem punktu (0, 0) zmienia obie.

Typowe błędy

  • Odejmowanie liczby ujemnej bez nawiasu i zgubienie minusa. Poprawnie:4 − (−2) = 4 + 2 = 6
  • Środek odcinka liczony jako różnica współrzędnych zamiast średniej (suma podzielona przez 2).
  • Prostopadłość: do prostej o a = 2 prostopadła nie ma współczynnika −2 ani 1/2. Poprawnie:2 · a = −1 ⇒ a = −1/2
  • Zły odczyt okręgu (S = (−4, 2) albo r = 9) z równania(x − 4)² + (y + 2)² = 9Poprawnie:S = (4, −2), r = 3
  • Prosta pionowa (x₁ = x₂) – dzielenie przez zero we wzorze na a. Jej równanie to po prostu x = x₁.

7 Sprawdź się

Przećwicz na zadaniach z egzaminów

W banku są zadania CKE i warianty Matmoo z działu Geometria analityczna – z podpowiedziami i rozwiązaniami.

Powtórz dział „Geometria analityczna” (matura) Otwórz bank zadań