Lekcja · matura podstawowa

Pierwiastki

Czym są √ i ∛, jak je mnożyć i dodawać, jak wyłączyć czynnik przed pierwiastek, oszacować wynik i pozbyć się pierwiastka z mianownika. Około 20 minut.

  1. Pierwiastek kwadratowy i sześcienny
  2. Pierwiastek z n – pobaw się
  3. Mnożenie, dzielenie, wyłączanie czynnika
  4. Dodawanie podobnych pierwiastków
  5. Niewymierność w mianowniku
  6. Pierwiastek jako potęga
  7. Typowe błędy
  8. Sprawdź się

1 Pierwiastek kwadratowy i sześcienny

Pierwiastek kwadratowy z liczby nieujemnej a to taka nieujemna liczba b, która podniesiona do kwadratu daje a:

√a = b  ⇔  b² = a i b ≥ 0

Na przykład:

√49 = 7, bo 7² = 49 √0,09 = 0,3, bo 0,3² = 0,09

Pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej nie istnieje (żadna liczba podniesiona do kwadratu nie daje wyniku ujemnego).

Pierwiastek sześcienny z dowolnej liczby a to liczba b, której sześcian jest równy a:

∛a = b  ⇔  b³ = a
∛64 = 4, bo 4³ = 64 ∛−8 = −2, bo (−2)³ = −8

Warto znać na pamięć kwadraty i sześciany – bez nich trudno wyłączać czynnik i szacować:

1² = 12² = 43² = 94² = 165² = 256² = 367² = 498² = 64 9² = 8110² = 10011² = 12112² = 14413² = 16914² = 19615² = 225
1³ = 12³ = 83³ = 274³ = 645³ = 1256³ = 216

2 Pierwiastek z n – pobaw się

Szacowanie. Żeby sprawdzić, między którymi liczbami całkowitymi leży √n, szukamy dwóch sąsiednich kwadratów, między którymi jest n:

k² ≤ n < (k + 1)²  ⇒  k ≤ √n < k + 1

Na przykład dla n = 40:

36 < 40 < 49 6 < √40 < 7

Przesuwaj suwak. Kwadrat ma pole n, więc jego bok to √n. Zobacz, jak dzieli się na mniejsze kwadraty – to właśnie wyłączanie czynnika przed pierwiastek.

3 Mnożenie, dzielenie, wyłączanie czynnika

Dla a ≥ 0 i b ≥ 0 (przy dzieleniu b > 0):

√a · √b = √a · b     √a : √b = √a : b
√2 · √8 = √16 = 4 √300 : √3 = √100 = 10

Te same wzory działają dla ∛ – i to dla dowolnych liczb, także ujemnych.

Wyłączanie czynnika przed pierwiastek. Liczbę pod pierwiastkiem zapisujemy jako iloczyn największego kwadratu, który ją dzieli, i reszty:

√50 = √25 · 2 = √25 · √2 = 5√2 √72 = √36 · 2 = 6√2

Dla ∛ szukamy największego sześcianu:

∛54 = ∛27 · 2 = 3∛2
Uwaga: jeśli weźmiesz za mały kwadrat, trzeba wyłączać dalej. Rozkład na 4 · 18 daje wynik, który nie jest jeszcze najprostszy:√72 = √4 · 18 = 2√18Liczbę 18 da się dalej rozłożyć na 9 · 2:2√18 = 2 · 3√2 = 6√2Na egzaminie wynik ma być w najprostszej postaci – szukaj od razu największego kwadratu.

Włączanie czynnika pod pierwiastek to działanie odwrotne – liczbę sprzed pierwiastka podnosimy do kwadratu (a ≥ 0):

a√b = √a² · b
Przykład 1. Która liczba jest większa: 3√5 czy 2√11?
  1. Włączamy 3 pod pierwiastek, podnosząc je do kwadratu:3√5 = √9 · 5 = √45
  2. Tak samo włączamy 2:2√11 = √4 · 11 = √44
  3. Im większa liczba pod pierwiastkiem, tym większy pierwiastek:45 > 44, więc √45 > √44
  4. Odpowiedź: 3√5 > 2√11. Kontrola na przybliżeniach:3√5 ≈ 6,71    2√11 ≈ 6,63

4 Dodawanie podobnych pierwiastków

Dodawać i odejmować można tylko wyrazy z tym samym pierwiastkiem – dokładnie tak jak wyrazy podobne:

2x + 5x = 7x

Z pierwiastkami jest tak samo:

a√c + b√c = (a + b)√c
2√3 + 5√3 = 7√3

Różnych pierwiastków nie łączymy: √2 + √3 zostaje bez zmian (to nie jest √5). Często pierwiastki stają się podobne dopiero po wyłączeniu czynnika.

Przykład 2. Oblicz √75 + √27 − √12.
  1. Z każdego pierwiastka wyłączamy czynnik (w każdej liczbie siedzi 3):√75 = √25 · 3 = 5√3√27 = √9 · 3 = 3√3√12 = √4 · 3 = 2√3
  2. Podstawiamy do wyrażenia:5√3 + 3√3 − 2√3
  3. Wszystkie wyrazy są podobne, więc działamy na liczbach przed pierwiastkiem:(5 + 3 − 2)√3 = 6√3
  4. Wynik: 6√3. Kontrola na przybliżeniach:8,660 + 5,196 − 3,464 = 10,392 ≈ 6√3

5 Usuwanie niewymierności z mianownika

To temat maturalny. Wynik z pierwiastkiem w mianowniku zapisujemy tak, żeby pierwiastek był tylko w liczniku. Gdy w mianowniku stoi sam pierwiastek, mnożymy licznik i mianownik przez ten pierwiastek:

a√b = a · √b√b · √b = a√bb
10√5 = 10√55 = 2√5

Gdy w mianowniku jest suma lub różnica (np. √5 − 1), mnożymy przez sprzężenie – to samo wyrażenie z przeciwnym znakiem – i korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:

(√a − b)(√a + b) = a − b²
Przykład 3. Usuń niewymierność z mianownika ułamka 4 / (√5 − 1).
  1. Mnożymy licznik i mianownik przez sprzężenie √5 + 1:4(√5 + 1)(√5 − 1)(√5 + 1)
  2. Mianownik liczymy ze wzoru skróconego mnożenia:(√5 − 1)(√5 + 1) = (√5)² − 1² = 5 − 1 = 4
  3. Skracamy przez 4:4(√5 + 1)4 = √5 + 1
  4. Wynik: √5 + 1. Kontrola na przybliżeniach:√5 ≈ 2,2364 : 1,236 ≈ 3,236 = 2,236 + 1

6 Pierwiastek jako potęga

Pierwiastek można zapisać jako potęgę o wykładniku ułamkowym (dla a ≥ 0):

a1/2 = √a     a1/3 = ∛a     am/n = (n√a)m
161/2 = √16 = 4 82/3 = (∛8)² = 2² = 4 9−1/2 = 1√9 = 13

Dzięki temu do pierwiastków stosujemy zwykłe prawa działań na potęgach, np. mnożąc pierwiastki różnych stopni z tej samej liczby:

√2 · ∛2 = 21/2 · 21/3 = 25/6

Na egzaminie: w ósmej klasie wystarczą √ i ∛. Na maturze potęgi o wykładniku wymiernym to częste zadanie zamknięte – najpierw zamień wszystko na potęgi tej samej liczby (np. 2 lub 3), potem przy mnożeniu dodawaj wykładniki, a przy dzieleniu – odejmuj.

7 Typowe błędy

  • Pierwiastek z sumy to nie suma pierwiastków. Sprawdź na liczbach: √9 + 16 = √25 = 5 √9 + √16 = 3 + 4 = 7
    √a + b ≠ √a + √b
    Dla mnożenia i dzielenia rozbijanie działa, dla dodawania i odejmowania – nie.
  • √(x²) to wartość bezwzględna, a nie x. Pierwiastek nigdy nie jest ujemny: √(−3)² = √9 = 3 = |−3|
    √x² = |x|
    Natomiast najpierw pierwiastek, potem kwadrat – to działa tylko dla x ≥ 0:(√x)² = x
  • Liczba przed pierwiastkiem też się podnosi do kwadratu. 2√3 = √4 · 3 = √12, a nie √6 (2√3)² = 4 · 3 = 12, a nie 6
  • √ z liczby ujemnej nie istnieje, ale ∛ – tak. ∛−27 = −3 Zapis √−9 nie ma sensu w liczbach rzeczywistych.

8 Sprawdź się

Przećwicz na zadaniach z egzaminów

W banku są zadania CKE i warianty Matmoo z działów Potęgi i pierwiastki (egzamin ósmoklasisty) i Liczby rzeczywiste (matura) – z podpowiedziami i rozwiązaniami.

Powtórz dział „Liczby rzeczywiste” (matura) Otwórz bank zadań