Lekcja · matura podstawowa

Planimetria

Kąty w okręgu, styczna, Tales i podobieństwo, Pitagoras, pola figur, okrąg wpisany i opisany. Wszystko, czego potrzebujesz do zadań z geometrii płaskiej. Około 20 minut.

  1. Kąty w okręgu
  2. Kąt środkowy i wpisany – pobaw się
  3. Styczna i twierdzenie Pitagorasa
  4. Tales i podobieństwo
  5. Pola figur
  6. Okrąg wpisany i opisany, wielokąty
  7. Sprawdź się

1 Kąty w okręgu

Punkty A i B leżą na okręgu o środku O i wyznaczają łuk AB.

  • Kąt środkowy AOB ma wierzchołek w środku okręgu.
  • Kąt wpisany ACB ma wierzchołek C na okręgu, a jego ramiona przechodzą przez A i B.

Jeśli oba kąty są oparte na tym samym łuku, to kąt wpisany jest dwa razy mniejszy:

∠ACB = ½ · ∠AOB

Na przykład gdy kąt środkowy ma 140°, to kąt wpisany oparty na tym samym łuku ma

½ · 140° = 70°

Dwa ważne wnioski:

  • Wszystkie kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe (nieważne, gdzie na drugim łuku leży C).
  • Kąt wpisany oparty na półokręgu (AB to średnica) jest prosty, bo kąt środkowy ma wtedy 180°:½ · 180° = 90°

Uwaga na egzaminie: zawsze sprawdź, na którym łuku oparty jest kąt. Kąt wpisany jest oparty na łuku leżącym naprzeciw wierzchołka C – tym, który nie zawiera punktu C. Częsty błąd to przepisanie miary kąta środkowego bez dzielenia przez 2 albo mnożenie zamiast dzielenia.

2 Kąt środkowy i wpisany – pobaw się

Przesuwaj punkty A, B i C po okręgu. Pogrubiony łuk to łuk, na którym oparty jest kąt wpisany ACB. Przesuń C na drugą stronę cięciwy AB i zobacz, co się stanie.

■ kąt środkowy oparty na pogrubionym łuku   ■ kąt wpisany ACB

Zauważ: gdy C przejdzie na drugi łuk, kąt ACB jest oparty na drugim łuku AB. Dwa kąty wpisane oparte na tych dwóch łukach (dopełniających się do całego okręgu) dają razem 180°, bo ich kąty środkowe dają razem 360°.

3 Styczna i twierdzenie Pitagorasa

Styczna do okręgu ma z nim dokładnie jeden punkt wspólny – punkt styczności A. Najważniejsza własność:

styczna ⊥ promień OA

Dlatego w zadaniach ze styczną prawie zawsze pojawia się trójkąt prostokątny, a w nim twierdzenie Pitagorasa: w trójkącie o przyprostokątnych a, b i przeciwprostokątnej c

a² + b² = c²

Warto pamiętać trójki pitagorejskie: 3, 4, 5 · 5, 12, 13 · 6, 8, 10 · 8, 15, 17. Dwa wzory, które wynikają z Pitagorasa:

  • przekątna kwadratu o boku a:d = a√2
  • wysokość trójkąta równobocznego o boku a:h = a√3 / 2
Przykład 1. Prosta PA jest styczna do okręgu o środku O i promieniu 5 w punkcie A. Wiadomo, że |PA| = 12. Oblicz |PO| oraz odległość punktu P od okręgu.
OAP 512
  1. Styczna jest prostopadła do promienia, więc kąt OAP jest prosty. Trójkąt OAP jest prostokątny, a PO to jego przeciwprostokątna.
  2. Z twierdzenia Pitagorasa:|PO|² = |OA|² + |PA|²|PO|² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169
  3. Wyciągamy pierwiastek (długość jest dodatnia):|PO| = 13
  4. Odległość punktu P od okręgu to |PO| pomniejszone o promień:13 − 5 = 8

4 Twierdzenie Talesa i podobieństwo trójkątów

Twierdzenie Talesa: jeśli ramiona kąta o wierzchołku C przetniemy dwiema prostymi równoległymi (DE ∥ AB), to odcinki na ramionach są proporcjonalne:

|CD| / |CA| = |CE| / |CB| = |DE| / |AB|

To samo mówi podobieństwo: trójkąt CDE jest podobny do trójkąta CAB (mają te same kąty). Trójkąty są podobne, gdy spełniają jedną z cech:

  • kkk – dwa kąty jednego trójkąta są równe dwóm kątom drugiego (najczęściej używana),
  • bbb – trzy pary boków są proporcjonalne,
  • bkb – dwie pary boków są proporcjonalne, a kąty między nimi równe.

Jeśli trójkąt T₂ jest podobny do T₁ w skali k, to:

boki
× k
obwód
× k
pole
× k²

Typowy błąd: stosunek pól to k², a nie k. Gdy boki są 3 razy dłuższe, pole jest 9 razy większe.

Przykład 2. W trójkącie ABC punkt D leży na boku AC, a punkt E na boku BC, przy czym DE ∥ AB. Wiadomo, że |CD| = 4, |DA| = 6 i |DE| = 6, a pole trójkąta CDE jest równe 8. Oblicz |AB|, pole trójkąta ABC i pole trapezu ABED.
CAB DE 466
  1. Skoro DE ∥ AB, trójkąty CDE i CAB mają te same kąty (cecha kkk), więc są podobne. Najpierw długość boku CA:|CA| = 4 + 6 = 10
  2. Skala podobieństwa trójkąta CAB do trójkąta CDE:k = |CA| / |CD| = 10 / 4 = 5/2
  3. Bok AB jest k razy dłuższy od DE:|AB| = 5/2 · 6 = 15
  4. Pole rośnie k² razy:PABC = (5/2)² · 8 = 25/4 · 8 = 50
  5. Trapez ABED to trójkąt ABC bez trójkąta CDE:PABED = 50 − 8 = 42

5 Pola figur

Te wzory są w karcie wzorów, ale trzeba umieć je szybko dobrać do sytuacji.

TrójkątP = ½ · a · hP = ½ · a · b · sin γγ – kąt między bokami a i b
RównoległobokP = a · hP = a · b · sin α
RombP = a · hP = ½ · d₁ · d₂d₁, d₂ – przekątne
TrapezP = ½ · (a + b) · ha, b – podstawy
KołoP = πr²obwód = 2πr
Wycinek koła (kąt α)P = α/360° · πr²łuk = α/360° · 2πr

Do wzoru z sinusem przydają się wartości:

γ30°45°60°90°
sin γ1/2√2/2√3/21

Dla kątów rozwartych: sin(180° − γ) = sin γ, np.

sin 150° = sin 30° = 1/2

Uwaga na egzaminie: w trapezie i równoległoboku wysokość to odcinek prostopadły do podstawy, a nie ramię. Jeśli jej nie znasz – opuść wysokość i użyj Pitagorasa, jak w przykładzie niżej.

Przykład 3. Podstawy trapezu równoramiennego mają długości 14 i 6, a ramię ma długość 5. Oblicz pole tego trapezu.
  1. Opuszczamy wysokości z końców krótszej podstawy. Odcinają one z dłuższej podstawy dwa równe kawałki:(14 − 6) / 2 = 4
  2. Wysokość h, kawałek 4 i ramię 5 tworzą trójkąt prostokątny. Z twierdzenia Pitagorasa:h² + 4² = 5²h² = 25 − 16 = 9h = 3
  3. Wstawiamy do wzoru na pole trapezu:P = ½ · (14 + 6) · 3 = 10 · 3 = 30

6 Okrąg wpisany i opisany, wielokąty

  • Środek okręgu opisanego na trójkącie leży na przecięciu symetralnych boków – jest jednakowo oddalony od wierzchołków.
  • Środek okręgu wpisanego w trójkąt leży na przecięciu dwusiecznych kątów – jest jednakowo oddalony od boków.

Trójkąt prostokątny

Kąt prosty jest kątem wpisanym opartym na półokręgu, więc przeciwprostokątna c jest średnicą okręgu opisanego:

R = c / 2

Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o przyprostokątnych a, b:

r = (a + b − c) / 2

Trójkąt równoboczny

Środki obu okręgów leżą w tym samym punkcie, który dzieli wysokość h w stosunku 2 : 1:

R = ⅔ h    r = ⅓ h

Na przykład dla boku a = 6:

h = 6√3 / 2 = 3√3 R = ⅔ · 3√3 = 2√3 r = ⅓ · 3√3 = √3

Typowy błąd: zamiana R z r. Promień okręgu opisanego jest dłuższy – to ⅔ wysokości, a promień okręgu wpisanego to tylko ⅓.

Wielokąty

Suma kątów wewnętrznych n-kąta wypukłego:

(n − 2) · 180°

W wielokącie foremnym wszystkie kąty są równe, więc żeby obliczyć jeden kąt, dzielimy tę sumę przez n. Na przykład dla sześciokąta foremnego:

(6 − 2) · 180° = 720° 720° : 6 = 120°

7 Sprawdź się

Przećwicz na zadaniach z egzaminów

W banku są zadania CKE i warianty Matmoo z działu Planimetria – z podpowiedziami i rozwiązaniami.

Powtórz dział „Planimetria” (matura) Otwórz bank zadań