Lekcja · matura podstawowa

Potęgi

Co oznacza an, jak mnożyć i dzielić potęgi, skąd się bierze a0 = 1 i 2−3 = 1/8, potęgi o wykładniku wymiernym i notacja wykładnicza. Około 20 minut.

  1. Co to jest potęga
  2. Potęgi – pobaw się
  3. Działania na potęgach
  4. Wykładnik zero i ujemny
  5. Wykładnik wymierny
  6. Notacja wykładnicza
  7. Typowe błędy
  8. Sprawdź się

1 Co to jest potęga

Potęga to skrócony zapis mnożenia tej samej liczby przez siebie. Dla liczby naturalnej n ≥ 2:

an = a · a · … · a (n czynników)
  • a – podstawa potęgi (liczba, którą mnożymy),
  • n – wykładnik (ile razy podstawa występuje jako czynnik),
  • przyjmujemy też, że a1 = a; potęgę 2 nazywamy kwadratem, a potęgę 3 – sześcianem.

Na przykład:

34 = 3 · 3 · 3 · 3 = 81 105 = 100 000 (jedynka i 5 zer)

Znak wyniku przy ujemnej podstawie: wykładnik parzysty daje wynik dodatni, nieparzysty – ujemny.

(−2)4 = (−2) · (−2) · (−2) · (−2) = 16 (−2)3 = (−2) · (−2) · (−2) = −8

Uwaga na egzaminie: nawias robi różnicę! W zapisie −24 potęgujemy tylko dwójkę, a minus stoi przed całością: −24 = −(2 · 2 · 2 · 2) = −16 (−2)4 = 16

2 Potęgi – pobaw się

Wybierz podstawę i przesuwaj suwak wykładnika. Zobaczysz, jak potęgę „rozpisać” – także dla wykładnika zero i ujemnego.

Podstawa a:

    3 Działania na potęgach

    Te wzory są w karcie wzorów, ale trzeba umieć ich używać „z automatu”. Działają dla wykładników całkowitych (a przy a, b > 0 – dla dowolnych wymiernych).

    mnożenie – ta sama podstawaam · an = am+n
    dzielenie – ta sama podstawaam : an = am−n (a ≠ 0)
    potęga potęgi(am)n = am·n
    potęga iloczynu(a · b)n = an · bn
    potęga ilorazu(a / b)n = an / bn (b ≠ 0)

    Uwaga na egzaminie: wykładniki dodajemy tylko przy tej samej podstawie. Gdy podstawy są różne, sprowadź je do jednej – najczęściej do 2, 3 lub 5: 4 = 22,   8 = 23,   0,25 = 2−2,   27 = 33 Przy tym samym wykładniku można za to mnożyć podstawy: 27 · 57 = (2 · 5)7 = 107

    Przykład 1. Oblicz wartość wyrażenia (23 · 42) : 82.
    1. Sprowadzamy wszystko do podstawy 2:42 = (22)2 = 2482 = (23)2 = 26
    2. Mnożymy potęgi o tej samej podstawie – dodajemy wykładniki:23 · 24 = 23+4 = 27
    3. Dzielimy – odejmujemy wykładniki:27 : 26 = 27−6 = 21
    4. Wynik:(23 · 42) : 82 = 2Sprawdzenie na liczbach:(8 · 16) : 64 = 128 : 64 = 2 ✓

    4 Wykładnik zero i ujemny

    Spójrz na ciąg potęg dwójki. Za każdym krokiem w dół wykładnik maleje o 1, a wartość dzielimy przez 2:

    23 = 8 → 22 = 4 → 21 = 2 → 20 = 1 → 2−1 = 1/2 → 2−2 = 1/4

    Stąd biorą się dwie definicje (dla a ≠ 0 i naturalnego n):

    a0 = 1     a−n = 1an

    Ujemny wykładnik oznacza odwrotność, a nie liczbę ujemną. Przy ułamku najprościej „odwrócić” go i zmienić znak wykładnika:

    (2/3)−2 = (3/2)2 = 9/4

    Uwaga: na egzaminie ósmoklasisty ujemne wykładniki pojawiają się głównie przy notacji wykładniczej (np. 10−3 = 0,001). Na maturze trzeba sprawnie liczyć każdą potęgę o wykładniku ujemnym. Wyrażenie 00 nie jest określone.

    Przykład 2. Oblicz 5−2 · 25 + (1/2)−3.
    1. Zamieniamy potęgę o wykładniku ujemnym na odwrotność:5−2 = 1/52 = 1/25
    2. Mnożymy przez 25:1/25 · 25 = 1
    3. Odwracamy ułamek 1/2 i zmieniamy znak wykładnika:(1/2)−3 = 23 = 8
    4. Dodajemy:1 + 8 = 9

    5 Wykładnik wymierny matura

    Potęga o wykładniku ułamkowym to inaczej zapisany pierwiastek. Dla a ≥ 0 i naturalnych m, n ≥ 1:

    a1/n = n√a     am/n = n√(am) = (n√a)m

    Mianownik wykładnika mówi, jaki pierwiastek wyciągamy, a licznik – do jakiej potęgi podnosimy. Dla wykładnika ujemnego (wtedy a > 0) bierzemy odwrotność:

    a−m/n = 1 / am/n

    Na przykład:

    91/2 = √9 = 3 82/3 = (3√8)2 = 22 = 4

    Uwaga na maturze: najpierw wyciągnij pierwiastek, potem potęguj – liczby zostają małe. W zadaniach typu „liczba 31/2 · 91/4 jest równa” zapisz wszystko jako potęgi tej samej podstawy i dodaj wykładniki: 31/2 · 91/4 = 31/2 · 32/4 = 31/2 + 1/2 = 3

    Przykład 3. Oblicz 272/3 · 9−1/2.
    1. Mianownik 3 w wykładniku oznacza pierwiastek trzeciego stopnia:272/3 = (3√27)2 = 32 = 9
    2. Wykładnik 1/2 oznacza pierwiastek kwadratowy:91/2 = √9 = 3
    3. Minus w wykładniku daje odwrotność:9−1/2 = 1/3
    4. Mnożymy:9 · 1/3 = 3Inny sposób – wszystko jako potęgi trójki:33 · 2/3 · 32 · (−1/2) = 32 · 3−1 = 31 = 3 ✓

    6 Notacja wykładnicza

    Bardzo duże i bardzo małe liczby zapisujemy w postaci

    a · 10k,   gdzie 1 ≤ a < 10,  k – liczba całkowita
    • Duża liczba – przesuwamy przecinek w lewo, aż przed nim zostanie jedna cyfra różna od zera; liczba przesunięć to k > 0.
    • Mała liczba (mniejsza od 1) – przesuwamy przecinek w prawo za pierwszą cyfrę różną od zera; k < 0.
    384 000 = 3,84 · 105 0,00072 = 7,2 · 10−4

    Mnożąc liczby w tej postaci, mnożymy osobno liczby a i osobno potęgi dziesiątki, a na końcu poprawiamy zapis, gdy a wyjdzie ≥ 10:

    (4 · 106) · (5 · 10−2) = 20 · 104 = 2 · 105

    Uwaga na egzaminie: zapis 20 · 104 ani 0,2 · 106 nie jest notacją wykładniczą – liczba przed potęgą dziesiątki musi być z przedziału [1; 10).

    7 Typowe błędy

    Potęga sumy to nie suma potęg.

    (a + b)2 = a2 + b2 (2 + 3)2 = 25,   a 22 + 32 = 13

    Poprawnie:

    (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

    Minus bez nawiasu nie jest potęgowany.

    (−2)4 = 16 −24 = −16

    Przy mnożeniu potęg nie mnożymy podstaw.

    23 · 24 = 47 23 · 24 = 27 = 128

    Przy dodawaniu nie dodajemy wykładników.

    23 + 23 = 26 23 + 23 = 2 · 23 = 24 = 16

    Potęga potęgi – mnożymy, nie dodajemy.

    (23)2 = 25 (23)2 = 26 = 64

    Ujemny wykładnik to nie ujemny wynik.

    2−3 = −8 2−3 = 1/23 = 1/8

    8 Sprawdź się

    Przećwicz na zadaniach z egzaminów

    W banku są zadania CKE i warianty Matmoo – z podpowiedziami i rozwiązaniami. Ósmoklasiści: dział Potęgi i pierwiastki, maturzyści: dział Liczby rzeczywiste.

    Powtórz „Liczby rzeczywiste” (matura) Otwórz bank zadań