Lekcja · matura podstawowa

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo klasyczne P(A) = |A| / |Ω|, dwie kostki, losowanie kul, zdarzenie przeciwne, a do tego średnia, mediana, dominanta i odchylenie standardowe. Około 20 minut.

  1. Prawdopodobieństwo klasyczne
  2. Dwie kostki – pobaw się
  3. Ze zwracaniem i bez zwracania
  4. Zdarzenie przeciwne i suma zdarzeń
  5. Średnia, mediana, dominanta
  6. Wariancja i odchylenie standardowe
  7. Sprawdź się

1 Prawdopodobieństwo klasyczne

Wykonujemy doświadczenie losowe, np. rzut kostką. Zbiór wszystkich możliwych wyników oznaczamy literą Ω (omega), a ich liczbę – |Ω|. Zdarzenie A to zbiór wyników, które nam „pasują” – nazywamy je sprzyjającymi, a ich liczbę oznaczamy |A|.

Gdy wszystkie wyniki są jednakowo prawdopodobne, prawdopodobieństwo zdarzenia A obliczamy ze wzoru

P(A) = |A| / |Ω|

Na przykład w rzucie jedną kostką zdarzenie A – „wypadła liczba pierwsza”:

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, |Ω| = 6 A = {2, 3, 5}, |A| = 3 P(A) = 3/6 = 1/2
  • Zawsze 0 ≤ P(A) ≤ 1. Wynik ujemny albo większy od 1 oznacza błąd w rachunkach.
  • Zdarzenie niemożliwe ma prawdopodobieństwo 0, zdarzenie pewne – prawdopodobieństwo 1.

Uwaga na egzaminie: najpierw ustal, co jest jednym wynikiem doświadczenia, i licz |Ω| oraz |A| w ten sam sposób. Wynik podawaj jako ułamek nieskracalny (lub równoważną liczbę) – bez zaokrąglania.

2 Dwie kostki – pobaw się

Przy rzucie dwiema kostkami wynikiem jest para: (oczka na pierwszej kostce, oczka na drugiej). Pary (1, 2) i (2, 1) to dwa różne wyniki. Wszystkich par jest

|Ω| = 6 · 6 = 36

Wybierz zdarzenie – pola sprzyjające podświetlą się w tabeli. Wiersz to pierwsza kostka, kolumna – druga.

Uwaga na egzaminie: przy dwóch kostkach narysuj taką tabelę 6 × 6 i zaznacz w niej pola sprzyjające – to szybkie liczenie i od razu pełne uzasadnienie. Częsty błąd: traktowanie (1, 2) i (2, 1) jako jednego wyniku i przyjęcie |Ω| = 21.

3 Ze zwracaniem i bez zwracania

Gdy doświadczenie ma kilka etapów, korzystamy z reguły mnożenia: jeśli pierwszy etap ma m wyników, a drugi n wyników, to razem jest

m · n wyników

Losujemy dwa razy jeden element ze zbioru, w którym jest n elementów:

ze zwracaniem
wylosowany element wraca
|Ω| = n · n
bez zwracania
w drugim losowaniu jest o 1 mniej
|Ω| = n · (n − 1)

Liczymy wyniki uporządkowane (pierwsza kula, druga kula) – zarówno w Ω, jak i w A.

Przykład 1. W urnie są 3 kule białe i 2 czarne. Losujemy kolejno dwie kule bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo, że obie kule są białe. Porównaj z losowaniem ze zwracaniem.
  1. Pierwszą kulę wybieramy spośród 5, drugą – spośród 4 pozostałych:|Ω| = 5 · 4 = 20
  2. Zdarzenie A – obie kule białe. Pierwszą białą wybieramy spośród 3, drugą spośród 2 pozostałych białych:|A| = 3 · 2 = 6
  3. Obliczamy prawdopodobieństwo:P(A) = 6/20 = 3/10
  4. Ze zwracaniem za każdym razem losujemy spośród 5 kul, w tym 3 białych:|Ω| = 5 · 5 = 25|A| = 3 · 3 = 9P(A) = 9/25Szansa jest większa, bo biała kula wraca do urny.

4 Zdarzenie przeciwne i suma zdarzeń

Zdarzenie przeciwne do A (oznaczane A′) zachodzi wtedy, gdy A nie zachodzi. Jego prawdopodobieństwo to

P(A′) = 1 − P(A)

Przydaje się zwłaszcza przy sformułowaniu „co najmniej jeden”. Na przykład zdarzenie „na co najmniej jednej z dwóch kostek wypadła szóstka” ma zdarzenie przeciwne „na żadnej kostce nie ma szóstki”:

|A′| = 5 · 5 = 25 P(A) = 1 − 25/36 = 11/36

Suma zdarzeń A ∪ B zachodzi, gdy zachodzi A lub B (albo oba naraz). Wtedy

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

Część wspólną A ∩ B odejmujemy, bo przy dodawaniu P(A) + P(B) policzyliśmy ją dwa razy. Gdy zdarzenia się wykluczają (A ∩ B = ∅), zostaje samo P(A) + P(B).

Przykład 2. Ze zbioru {1, 2, 3, …, 30} losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowana liczba jest podzielna przez 2 lub przez 3.
  1. Wszystkich wyników jest 30. Niech A – liczba podzielna przez 2, B – liczba podzielna przez 3:|Ω| = 30, |A| = 15, |B| = 10
  2. Część wspólna A ∩ B to liczby podzielne przez 6, czyli 6, 12, 18, 24, 30:|A ∩ B| = 5
  3. Ze wzoru na prawdopodobieństwo sumy:P(A ∪ B) = 15/30 + 10/30 − 5/30P(A ∪ B) = 20/30 = 2/3
  4. Sprawdzenie przez zdarzenie przeciwne – liczby niepodzielne ani przez 2, ani przez 3 to 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29:1 − 10/30 = 20/30 = 2/3 ✓

Typowy błąd: samo dodanie 15/30 + 10/30 = 25/30. Liczby 6, 12, 18, 24, 30 zostały wtedy policzone dwa razy.

5 Średnia, mediana, dominanta

Średnia arytmetyczna n liczb x₁, x₂, …, xₙ to ich suma podzielona przez n:

x̄ = (x₁ + x₂ + … + xₙ) / n

Gdy dane są w tabeli liczebności, każdą wartość mnożymy przez to, ile razy wystąpiła (tak samo liczymy średnią ważoną z wagami w₁, w₂, …):

x̄ = (x₁ · n₁ + x₂ · n₂ + … + xₖ · nₖ) / (n₁ + n₂ + … + nₖ)

Mediana to wartość środkowa – ale dopiero po uporządkowaniu danych rosnąco:

  • nieparzysta liczba danych – mediana to wyraz środkowy,
  • parzysta liczba danych – mediana to średnia dwóch środkowych wyrazów.

Dominanta to wartość, która występuje najczęściej. Dane mogą mieć kilka dominant.

Przykład. Oceny z klasówki w grupie uczniów:

ocena2345
liczba uczniów2341

Liczba wszystkich ocen:

n = 2 + 3 + 4 + 1 = 10

Średnia:

x̄ = (2 · 2 + 3 · 3 + 4 · 4 + 5 · 1) / 10 x̄ = (4 + 9 + 16 + 5) / 10 = 34/10 = 3,4

Mediana – uporządkowane oceny to 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5; ocen jest 10, więc bierzemy piątą i szóstą:

Me = (3 + 4) / 2 = 3,5

Dominanta – najczęściej (4 razy) wystąpiła ocena 4:

Mo = 4

Uwaga na egzaminie: mediany nie odczytujemy ze środka nieuporządkowanej listy. Dla danych 7, 2, 9 mediana to 7 (po uporządkowaniu: 2, 7, 9), a nie 2. W tabeli liczebności dominantą jest wartość (tu ocena 4), a nie liczebność (4 uczniów).

6 Wariancja i odchylenie standardowe

Średnia mówi, wokół jakiej wartości skupiają się dane. Wariancja i odchylenie standardowe mówią, jak bardzo dane są od niej rozrzucone.

σ² = ((x₁ − x̄)² + (x₂ − x̄)² + … + (xₙ − x̄)²) / n
σ = √σ²

Wariancję można też policzyć jako średnią kwadratów minus kwadrat średniej (oba wzory są w wybranych wzorach CKE):

σ² = (x₁² + x₂² + … + xₙ²) / n − x̄²

Małe σ – dane skupione blisko średniej, duże σ – dane rozrzucone. Odchylenie standardowe ma tę samą jednostkę co dane (np. cm), wariancja – jednostkę „do kwadratu”.

Przykład 3. Oblicz wariancję i odchylenie standardowe danych: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9.
  1. Danych jest 8. Obliczamy średnią:x̄ = (2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9) / 8x̄ = 40/8 = 5
  2. Odejmujemy średnią od każdej danej:−3, −1, −1, −1, 0, 0, 2, 4i podnosimy różnice do kwadratu:9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16
  3. Wariancja to średnia tych kwadratów:σ² = (9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16) / 8σ² = 32/8 = 4
  4. Odchylenie standardowe:σ = √4 = 2
  5. Sprawdzenie drugim wzorem:(4 + 16 + 16 + 16 + 25 + 25 + 49 + 81) / 8 = 232/8 = 29σ² = 29 − 5² = 4 ✓

Typowe błędy:

  • zsumowanie samych różnic xᵢ − x̄ bez podnoszenia do kwadratu – ich suma zawsze wynosi 0;
  • podanie wariancji, gdy pytają o odchylenie standardowe (zapomniany pierwiastek);
  • dzielenie przez n − 1 zamiast przez n – na maturze podstawowej dzielimy przez liczbę danych n.

7 Sprawdź się

Przećwicz na zadaniach z egzaminów

W banku są zadania CKE i warianty Matmoo z działu Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka – z podpowiedziami i rozwiązaniami.

Powtórz dział „Prawdopodobieństwo i statystyka” (matura) Powtórz „Kombinatorykę” Otwórz bank zadań