Procenty
Procent z liczby, jakim procentem jest liczba, liczba z procentu, podwyżki i obniżki, punkty procentowe i lokata. Około 15 minut.
- Procent to ułamek
- Trzy podstawowe pytania
- Podwyżki i obniżki
- Zmiany cen – pobaw się
- Punkty procentowe
- Procent składany – lokata
- Sprawdź się
1 Procent to ułamek
Słowo „procent” znaczy „na sto”. Jeden procent to jedna setna:
Zamiana w obie strony:
- procent → liczba: dzielimy przez 100, np. 35% = 35/100 = 0,35 120% = 1,2 0,5% = 0,005
- liczba → procent: mnożymy przez 100%, np. 0,07 = 7% 3/8 = 0,375 = 37,5%
Warto pamiętać: 50% to połowa, 25% to ćwierć, 20% to piąta część, 10% to dziesiąta część, a 100% to całość.
2 Trzy podstawowe pytania
Prawie każde zadanie z procentami sprowadza się do jednego z trzech pytań:
p/100 · anp. 20% z 150:0,2 · 150 = 30
b/a · 100%np. jakim procentem liczby 48 jest 12:12/48 · 100% = 25%
x = b : p/100np. 30% liczby to 21:x = 21 : 0,3 = 70
Typowy błąd: w pytaniu „jakim procentem liczby a jest liczba b” w mianowniku stoi ta liczba, która jest „całością” (po słowie liczby). 12 to 25% liczby 48, ale 48 to aż 400% liczby 12.
- Szukamy całości x. Wiemy, że 30% tej całości to 9:0,3 · x = 9
- Dzielimy obie strony przez 0,3:x = 9 : 0,3x = 30
- Sprawdzenie:0,3 · 30 = 9 ✓Klasa liczy 30 uczniów.
3 Podwyżki i obniżki
Zamiast liczyć osobno podwyżkę i dodawać ją do ceny, mnożymy cenę od razu przez mnożnik:
obniżka o p%: · (1 − p/100)
Na przykład podwyżka o 15% to mnożenie przez 1,15, a obniżka o 30% – przez 0,7. Przy kolejnych zmianach mnożniki się mnożą, bo każda następna zmiana liczy się od nowej ceny, a nie od początkowej.
- Po podwyżce o 20%:250 · 1,2 = 300 zł
- Obniżka o 20% liczy się od 300 zł, a nie od 250 zł:300 · 0,8 = 240 zł
- Łączny mnożnik:1,2 · 0,8 = 0,96czyli cena spadła o 4% w stosunku do początkowej.
- Odpowiedź: kurtka kosztuje 240 zł – o 10 zł mniej niż na początku.
Uwaga na egzaminie: podwyżka o p%, a potem obniżka o p% nie przywracają ceny początkowej – cena zawsze kończy się niżej. Z tego samego powodu dwie podwyżki po 10% to razem 21%, a nie 20%.
4 Zmiany cen – pobaw się
Ustaw cenę i dwie kolejne zmiany. Szara przerywana linia pokazuje cenę początkową, zielony fragment paska – wzrost ceny, a czerwony kreskowany – spadek.
5 Punkty procentowe a procenty
Gdy porównujemy dwie wielkości, które same są procentami (oprocentowanie, poparcie, frekwencja), mamy dwa różne pytania:
- o ile punktów procentowych – zwykła różnica:8% − 5% = 3 punkty procentowe
- o ile procent – zmiana względna, liczona od wartości początkowej:3/5 · 100% = 60%
Czyli gdy oprocentowanie kredytu rośnie z 5% do 8%, to wzrosło ono o 3 punkty procentowe, ale aż o 60%.
Typowy błąd: napisać „wzrosło o 3%”. To zdanie jest fałszywe – 3% z 5% to tylko 0,15 punktu procentowego.
6 Procent składany – lokata
Na lokacie z oprocentowaniem p% w skali roku i roczną kapitalizacją odsetki co roku dopisuje się do kapitału, więc w kolejnym roku procent liczy się już od większej kwoty. Po n latach z kapitału K otrzymujemy
To jest ciąg geometryczny o ilorazie 1 + p/100. Gdy kapitalizacja jest częstsza (np. co kwartał), dzielimy oprocentowanie na części: przy kapitalizacji kwartalnej mnożnik to 1 + p/400, a liczba okresów to 4n.
- Mnożnik po jednym roku:1 + 5/100 = 1,05
- Po dwóch latach:K₂ = 10 000 · 1,05²K₂ = 10 000 · 1,1025 = 11 025 zł
- Odsetki:11 025 − 10 000 = 1025 złTo o 25 zł więcej niż 2 · 500 zł, bo w drugim roku procent liczy się także od odsetek z pierwszego roku.
Na maturze: jeśli zadanie mówi o podatku od odsetek (19%), to odejmujemy go od odsetek, a nie od całej kwoty – do kapitału dopisuje się 81% odsetek.
7 Sprawdź się
Przećwicz na zadaniach z egzaminów
W banku są zadania CKE i warianty Matmoo z działu Obliczenia procentowe – z podpowiedziami i rozwiązaniami.