Lekcja · matura podstawowa

Równania i nierówności

Liniowe, kwadratowe, wielomianowe i wymierne – delta, parabola, rozkład na czynniki, dziedzina i błędy, które najczęściej kosztują punkty. Około 20 minut.

  1. Równania i nierówności liniowe
  2. Równanie kwadratowe
  3. Nierówność kwadratowa
  4. Parabola – pobaw się
  5. Równania wielomianowe
  6. Równania wymierne
  7. Typowe błędy
  8. Sprawdź się

1 Równania i nierówności liniowe

Równanie liniowe sprowadzamy do postaci

ax = b
  • gdy a ≠ 0 – jedno rozwiązanie x = b/a,
  • gdy a = 0 i b = 0 (np. 0 · x = 0) – nieskończenie wiele rozwiązań (równanie tożsamościowe),
  • gdy a = 0 i b ≠ 0 (np. 0 · x = 5) – brak rozwiązań (równanie sprzeczne).

Nierówność liniową rozwiązujemy tak samo, z jedną ważną zasadą:

mnożysz lub dzielisz przez liczbę ujemną → odwracasz znak

Na przykład rozwiązujemy nierówność

5 − 3x < 11

Odejmujemy 5 od obu stron:

−3x < 6

Dzielimy przez −3, więc znak „<” zmienia się na „>”:

x > −2 x ∈ (−2; +∞)

Uwaga na egzaminie: przy nieskończoności nawias jest zawsze okrągły. Nawias kwadratowy stawiasz tylko przy liczbie, która należy do rozwiązania (znak ≤ lub ≥).

2 Równanie kwadratowe

Równanie ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) rozwiązujemy przez wyróżnik, czyli deltę:

Δ = b² − 4ac
Δ > 0dwa rozwiązania:x₁ = (−b − √Δ) / (2a)x₂ = (−b + √Δ) / (2a)
Δ = 0jedno rozwiązanie (podwójne):x₀ = −b / (2a)
Δ < 0brak rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych

Gdy znasz pierwiastki, trójmian zapiszesz w postaci iloczynowej:

ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂)

Równania niepełne rozwiązuj bez delty – szybciej i bez ryzyka pomyłki. Gdy brak wyrazu wolnego, wyłącz x przed nawias:

2x² − 6x = 0 2x(x − 3) = 0 x = 0 lub x = 3

Gdy brak wyrazu z x, wylicz x²:

x² − 16 = 0 x² = 16 x = −4 lub x = 4
Przykład 1. Rozwiąż równanie 2x² − 5x − 3 = 0 i zapisz trójmian w postaci iloczynowej.
  1. Odczytujemy współczynniki:a = 2, b = −5, c = −3
  2. Obliczamy deltę:Δ = (−5)² − 4 · 2 · (−3) = 25 + 24 = 49√Δ = 7
  3. Obliczamy pierwiastki:x₁ = (5 − 7) / 4 = −2/4 = −1/2x₂ = (5 + 7) / 4 = 12/4 = 3
  4. Postać iloczynowa:2x² − 5x − 3 = 2(x + 1/2)(x − 3)Sprawdzenie dla x = 3:2 · 9 − 15 − 3 = 0 ✓

3 Nierówność kwadratowa

Nierówności kwadratowej nie rozwiązujemy „jak równania”. Zawsze robimy to w czterech krokach:

  1. przenosimy wszystko na jedną stronę, żeby po drugiej zostało 0;
  2. wyznaczamy miejsca zerowe trójmianu (delta albo postać iloczynowa);
  3. szkicujemy parabolę: a > 0 – ramiona w górę, a < 0 – ramiona w dół;
  4. odczytujemy, gdzie wykres jest nad osią x (> 0) albo pod nią (< 0).
a > 0, Δ > 0
> 0 na zewnątrz pierwiastków
< 0 między nimi
a < 0, Δ > 0
> 0 między pierwiastkami
< 0 na zewnątrz
Δ < 0
parabola nie dotyka osi:
rozwiązaniem jest ℝ albo ∅

Uwaga na egzaminie: przy nierówności nieostrej (≤, ≥) miejsca zerowe należą do rozwiązania – na osi rysujesz zamalowane kółka i piszesz nawiasy kwadratowe. Przy ostrej (<, >) – kółka puste i nawiasy okrągłe.

Przykład 2. Rozwiąż nierówność −x² + x + 6 ≥ 0.
  1. Współczynniki i delta:a = −1, b = 1, c = 6Δ = 1² − 4 · (−1) · 6 = 1 + 24 = 25√Δ = 5
  2. Miejsca zerowe:x₁ = (−1 − 5) / (−2) = −6/(−2) = 3x₂ = (−1 + 5) / (−2) = 4/(−2) = −2
  3. a = −1 < 0, więc ramiona paraboli są skierowane w dół. Wykres jest nad osią x między miejscami zerowymi.
  4. Nierówność jest nieostra (≥), więc końce należą do rozwiązania:x ∈ [−2; 3]Sprawdzenie dla x = 0:−0² + 0 + 6 = 6 ≥ 0 ✓

4 Parabola – pobaw się

Ustaw parabolę suwakami i wybierz znak nierówności. Na osi x zobaczysz zbiór rozwiązań, a pod wykresem – ten sam zbiór zapisany jako przedział.

Nierówność f(x) … 0

Sprawdź sam: ustaw deltę ujemną (np. a = 1, b = 0, c = 2) i zobacz, kiedy wychodzi ℝ, a kiedy ∅. A przy Δ = 0 porównaj „> 0” z „≥ 0”.

5 Równania wielomianowe

Na maturze podstawowej równanie wielomianowe rozwiązujesz przez rozkład na czynniki i korzystasz z tego, że

A · B · C = 0 ⇔ A = 0 lub B = 0 lub C = 0

Najczęstsze sposoby rozkładu:

  • wyłączenie wspólnego czynnika, np. x³ − 4x = x(x² − 4);
  • wzory skróconego mnożenia, np. x² − 4 = (x − 2)(x + 2);
  • grupowanie wyrazów – gdy wielomian ma cztery wyrazy (przykład niżej).
Przykład 3. Rozwiąż równanie x³ + 2x² − 9x − 18 = 0.
  1. Grupujemy wyrazy po dwa i wyłączamy wspólne czynniki:x²(x + 2) − 9(x + 2) = 0
  2. Wyłączamy nawias (x + 2):(x + 2)(x² − 9) = 0
  3. Rozkładamy różnicę kwadratów:(x + 2)(x − 3)(x + 3) = 0
  4. Każdy czynnik przyrównujemy do zera:x = −3 lub x = −2 lub x = 3Sprawdzenie dla x = 3:27 + 18 − 27 − 18 = 0 ✓

6 Równania wymierne – najpierw dziedzina!

Równanie wymierne ma niewiadomą w mianowniku. Mianownik nie może być zerem, więc zanim zaczniesz liczyć, wypisz dziedzinę. Ułamek jest równy zeru wtedy, gdy jego licznik jest równy zeru (a mianownik nie).

Rozwiążmy równanie

(x² − 9) / (x − 3) = 0

Dziedzina – mianownik różny od zera:

x − 3 ≠ 0 D = ℝ \ {3}

Licznik przyrównujemy do zera:

x² − 9 = 0 x = −3 lub x = 3

Liczba 3 nie należy do dziedziny, więc zostaje tylko:

x = −3

Gdy po obu stronach są ułamki albo liczba, mnożymy „na krzyż”, ale dziedzina i tak zostaje. Na przykład:

(2x − 1) / (x + 3) = 1,   x ≠ −3 2x − 1 = x + 3 x = 4 ∈ D ✓

Uwaga na egzaminie: wynik, który „wypada” z dziedziny, trzeba odrzucić i to napisać. Egzaminator szuka zapisu dziedziny – bez niego tracisz punkt nawet przy dobrym wyniku.

7 Typowe błędy

  • Dzielenie przez x. Z równania x² = 3x „skracając” x dostajesz tylko x = 3 i gubisz x = 0. Poprawnie przenosimy wszystko na lewą stronę i wyłączamy x:x² − 3x = 0x(x − 3) = 0x = 0 lub x = 3
  • Brak zmiany znaku. Dzieląc nierówność −2x ≥ 8 przez −2, odwracasz znak:x ≤ −4
  • „Pierwiastkowanie” nierówności. Nierówność x² > 9 nie daje samego x > 3. Rozwiązuj ją jak kwadratową:x² − 9 > 0x ∈ (−∞; −3) ∪ (3; +∞)
  • Zła odpowiedź z paraboli. Masz już miejsca zerowe, ale nie patrzysz na znak a. Przy a < 0 „> 0” wychodzi między pierwiastkami, a nie na zewnątrz.
  • Pominięta dziedzina w równaniu wymiernym – odpowiedź zawiera liczbę, dla której mianownik jest zerem.
  • Znaki w delcie. Przy ujemnym b lub c pisz nawiasy:(−5)² − 4 · 2 · (−3) = 25 + 24

8 Sprawdź się

Przećwicz na zadaniach z egzaminów

W banku są zadania CKE i warianty Matmoo z działu Równania i nierówności – z podpowiedziami i rozwiązaniami.

Powtórz dział „Równania i nierówności” (matura) Otwórz bank zadań