Stereometria
Graniastosłupy, ostrosłupy, walec, stożek i kula: wzory na pola i objętości, przekątne oraz kąty nachylenia – czyli który trójkąt prostokątny narysować. Około 20 minut.
- Graniastosłupy i ostrosłupy
- Przekątne i kąt z podstawą
- Kąty w ostrosłupie
- Ostrosłup – pobaw się
- Walec, stożek, kula
- Typowe błędy
- Sprawdź się
1 Graniastosłupy i ostrosłupy
Graniastosłup ma dwie przystające podstawy i ściany boczne będące prostokątami (w graniastosłupie prostym). Ostrosłup ma jedną podstawę i wierzchołek S, a ściany boczne są trójkątami.
Bryła jest prawidłowa, gdy jej podstawą jest wielokąt foremny (trójkąt równoboczny, kwadrat, sześciokąt foremny), a w graniastosłupie dodatkowo krawędzie boczne są prostopadłe do podstawy.
Objętość graniastosłupa i ostrosłupa (Pp – pole podstawy, H – wysokość):
Pole powierzchni całkowitej (Pb – pole powierzchni bocznej, czyli suma pól ścian bocznych):
Przydadzą się pola podstaw o boku a:
kwadrat: P = a² trójkąt równoboczny: P = a²√3 / 4 sześciokąt foremny: P = 6 · a²√3 / 4 = 3a²√3 / 2Uwaga na egzaminie: „ostrosłup prawidłowy czworokątny” to ostrosłup z kwadratem w podstawie, a „czworościan foremny” to ostrosłup, którego wszystkie cztery ściany są trójkątami równobocznymi.
2 Przekątne i kąt nachylenia przekątnej do podstawy
Przekątna prostopadłościanu o krawędziach a, b, c (dwa razy twierdzenie Pitagorasa):
Dla sześcianu o krawędzi a przekątna ściany i przekątna sześcianu to:
d = a√2 D = a√3Kąt nachylenia przekątnej graniastosłupa do podstawy to kąt między tą przekątną a przekątną podstawy (jej rzutem na podstawę). Rysujemy trójkąt prostokątny: wysokość H (krawędź boczna), przekątna podstawy d i przeciwprostokątna – przekątna bryły D.
- Podstawa to kwadrat o boku 6, więc jego przekątna ma długość:d = 6√2
- W trójkącie prostokątnym H, d, D zapisujemy tangens kąta 60°:tg 60° = H / (6√2)√3 = H / (6√2)H = 6√6
- Przekątną D obliczamy z cosinusa (d to przyprostokątna przy kącie 60°):cos 60° = 6√2 / D1/2 = 6√2 / DD = 12√2Sprawdzenie z twierdzenia Pitagorasa:(6√2)² + (6√6)² = 72 + 216 = 288 = (12√2)² ✓
- Objętość – pole kwadratu razy wysokość:V = 6² · 6√6 = 36 · 6√6 = 216√6
3 Kąty w ostrosłupie – który trójkąt rysujemy?
W ostrosłupie prawidłowym spodek wysokości O leży w środku podstawy – w środku okręgu opisanego na podstawie i jednocześnie wpisanego w nią. Każdy kąt nachylenia „do podstawy” liczymy w trójkącie prostokątnym, którego jedną przyprostokątną jest wysokość H, a kąt prosty jest przy O.
- Kąt krawędzi bocznej z podstawą: trójkąt H, odcinek od O do wierzchołka podstawy (promień R okręgu opisanego) i krawędź boczna b. tg α = H / R
- Kąt ściany bocznej z podstawą: trójkąt H, odcinek od O do środka krawędzi podstawy (promień r okręgu wpisanego) i wysokość ściany bocznej h. tg β = H / r
Ile wynoszą R i r dla podstawy o boku a:
| podstawa | R (do wierzchołka) | r (do środka boku) |
|---|---|---|
| kwadrat | a√2 / 2 (pół przekątnej) | a / 2 (pół boku) |
| trójkąt równoboczny | a√3 / 3 (⅔ wysokości) | a√3 / 6 (⅓ wysokości) |
| sześciokąt foremny | a | a√3 / 2 |
Uwaga na egzaminie: kąt ściany bocznej z podstawą to nie kąt przy krawędzi bocznej. Jego ramiona to wysokość ściany bocznej i odcinek od spodka wysokości do środka krawędzi podstawy – oba prostopadłe do tej krawędzi.
- Rysujemy trójkąt: wysokość H, odcinek od środka kwadratu do środka boku i wysokość ściany h. Ten odcinek to połowa krawędzi:r = 6 / 2 = 3
- Z tangensa kąta 60° obliczamy wysokość ostrosłupa:tg 60° = H / 3√3 = H / 3H = 3√3
- Wysokość ściany bocznej z twierdzenia Pitagorasa:h² = 3² + (3√3)² = 9 + 27 = 36h = 6
- Objętość:V = ⅓ · 6² · 3√3 = ⅓ · 36 · 3√3 = 36√3
- Pole boczne to cztery trójkąty o podstawie 6 i wysokości 6:Pb = 4 · ½ · 6 · 6 = 72Pc = 36 + 72 = 108
4 Ostrosłup – pobaw się
Ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS. Wybierz kąt, zmieniaj krawędź podstawy a i wysokość H, a zobaczysz, który trójkąt prostokątny trzeba narysować. Linie przerywane są niewidoczne „zza ścian”.
5 Walec, stożek, kula
Oznaczenia: r – promień podstawy (kuli), H – wysokość, l – tworząca stożka.
Walec
Przekrój osiowy walca to prostokąt o bokach 2r i H.
Stożek
Przekrój osiowy stożka to trójkąt równoramienny o podstawie 2r i ramionach l. Wysokość, promień i tworząca tworzą trójkąt prostokątny:
l² = r² + H²Kąt nachylenia tworzącej do podstawy α spełnia:
tg α = H / rKula
Przekrój kuli płaszczyzną przechodzącą przez środek to koło o promieniu r (koło wielkie).
- Wysokość z twierdzenia Pitagorasa (l – przeciwprostokątna):H² = 10² − 6² = 100 − 36 = 64H = 8
- Objętość:V = ⅓ · π · 6² · 8 = ⅓ · 36 · 8 · π = 96π
- Pole powierzchni całkowitej – podstawa plus powierzchnia boczna:Pc = π · 6² + π · 6 · 10 = 36π + 60π = 96π
- Kąt nachylenia tworzącej do podstawy – przyprostokątne H i r:tg α = 8 / 6 = 4/3
6 Typowe błędy
- Zapominanie o ⅓ we wzorze na objętość ostrosłupa i stożka.
- Pomylenie trójkątów: przy kącie krawędzi bocznej bierzemy odległość O od wierzchołka podstawy (R), przy kącie ściany bocznej – odległość O od środka boku (r).
- Wstawianie krawędzi bocznej zamiast wysokości ściany do wzoru na pole trójkąta w ścianie bocznej.
- W stożku: we wzorze Pb = πrl jest tworząca l, a nie wysokość H.
- Mylenie wzorów kuli: pole 4πr² (kwadrat), objętość ⁴⁄₃πr³ (sześcian).
- Liczenie tangensa „na odwrót”: tg α = przyprostokątna naprzeciw kąta / przyprostokątna przy kącie. Przy kącie nachylenia do podstawy naprzeciw leży zawsze H.
7 Sprawdź się
Przećwicz na zadaniach z egzaminów
W banku są zadania CKE i warianty Matmoo z działu Stereometria – z podpowiedziami i rozwiązaniami.