Lekcja · matura podstawowa

Trygonometria

Sinus, cosinus i tangens w trójkącie prostokątnym, wartości dla 30°, 45° i 60°, najważniejsze tożsamości, kąt rozwarty i pole trójkąta ze wzoru z sinusem. Około 20 minut.

  1. Sinus, cosinus, tangens
  2. Trójkąt – pobaw się
  3. Kąty 30°, 45°, 60°
  4. Tożsamości
  5. Kąt rozwarty
  6. Pole trójkąta
  7. Sprawdź się

1 Sinus, cosinus, tangens kąta ostrego

Weź trójkąt prostokątny ABC z kątem prostym przy wierzchołku C i kątem ostrym α przy wierzchołku A. Względem kąta α jego boki nazywamy tak:

  • a – przyprostokątna przeciwległa (leży naprzeciw kąta α),
  • b – przyprostokątna przyległa (jest ramieniem kąta α),
  • c – przeciwprostokątna (najdłuższy bok, naprzeciw kąta prostego).

Funkcje trygonometryczne kąta α to ilorazy długości tych boków:

sin α = a / c
cos α = b / c
tg α = a / b

Na przykład w trójkącie o bokach 3, 4, 5, gdzie naprzeciw kąta α leży bok 3:

sin α = 3/5 cos α = 4/5 tg α = 3/4

Wartości zależą tylko od kąta, a nie od wielkości trójkąta: trójkąt 6, 8, 10 da dokładnie te same ilorazy. Dla kąta ostrego sinus i cosinus są zawsze liczbami z przedziału (0; 1), bo przyprostokątna jest krótsza od przeciwprostokątnej.

Typowy błąd: „przeciwległa” i „przyległa” zależą od tego, o który kąt pytają. Dla drugiego kąta ostrego β (przy wierzchołku B) boki zamieniają się rolami – wtedy przeciwległa jest b, a przyległa a. Zanim podstawisz do wzoru, zaznacz kąt na rysunku.

2 Trójkąt – pobaw się

Zmieniaj kąt α i długość przeciwprostokątnej. Zobacz, że przy stałym kącie ilorazy boków się nie zmieniają, choć trójkąt rośnie albo maleje.

3 Kąty 30°, 45° i 60°

Te wartości musisz znać – na maturze pojawiają się w wielu zadaniach:

α30°45°60°
sin α1/2√2/2√3/2
cos α√3/2√2/21/2
tg α√3/31√3

Nie trzeba ich wkuwać na pamięć – wynikają z dwóch prostych trójkątów.

Połowa kwadratu
45° a a a√2
Połowa trójkąta równobocznego
60° 30° a/2 a a√3/2

45°: przekątna dzieli kwadrat o boku a na dwa trójkąty prostokątne równoramienne. Przyprostokątne mają długość a, przeciwprostokątna (przekątna) a√2:

sin 45° = a / (a√2) = 1/√2 = √2/2 tg 45° = a / a = 1

30° i 60°: wysokość dzieli trójkąt równoboczny o boku a na dwa trójkąty o kątach 30°, 60°, 90°. Przeciwprostokątna ma długość a, krótsza przyprostokątna a/2 (leży naprzeciw kąta 30°), dłuższa – wysokość a√3/2:

sin 30° = (a/2) / a = 1/2 sin 60° = (a√3/2) / a = √3/2 tg 30° = (a/2) / (a√3/2) = 1/√3 = √3/3 tg 60° = (a√3/2) / (a/2) = √3

Na egzaminie: w karcie „Wybrane wzory matematyczne” jest tablica przybliżonych wartości funkcji trygonometrycznych. Gdy kąt nie jest „ładny” (np. 37°), odczytaj wartość z tablicy. Dla 30°, 45° i 60° podawaj wartości dokładne (z pierwiastkami), nie przybliżenia.

4 Tożsamości i wyznaczanie pozostałych funkcji

Z twierdzenia Pitagorasa a² + b² = c² po podzieleniu przez c² dostajemy jedynkę trygonometryczną:

sin²α + cos²α = 1

A dzieląc sinus przez cosinus:

sin α / cos α = (a/c) / (b/c) = a/b
tg α = sin α / cos α

Kąty ostre α i 90° − α to dwa kąty ostre tego samego trójkąta prostokątnego – przeciwległa jednego jest przyległą drugiego. Stąd:

sin(90° − α) = cos α
cos(90° − α) = sin α

Na przykład:

sin 70° = cos 20° cos 60° = sin 30° = 1/2

Uwaga na zapis: sin²α oznacza (sin α)², a nie sin(α²). Gdy z jedynki trygonometrycznej wyciągasz pierwiastek, dla kąta ostrego bierzesz wynik dodatni – sinus i cosinus kąta ostrego są dodatnie.

Przykład 1. Kąt α jest ostry i cos α = 5/13. Oblicz sin α oraz tg α.
  1. Wstawiamy cos α do jedynki trygonometrycznej:sin²α + (5/13)² = 1
  2. Obliczamy sin²α:sin²α = 1 − 25/169sin²α = 144/169
  3. Kąt jest ostry, więc sinus jest dodatni:sin α = 12/13
  4. Tangens z ilorazu sinusa i cosinusa:tg α = (12/13) / (5/13) = 12/5Sprawdzenie – trójkąt o bokach 5, 12, 13 jest prostokątny:5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13² ✓

5 Kąt rozwarty

Na poziomie podstawowym funkcje kąta rozwartego (od 90° do 180°) sprowadzamy do kąta ostrego za pomocą wzorów:

sin(180° − α) = sin α
cos(180° − α) = −cos α
tg(180° − α) = −tg α

Wniosek: dla kąta rozwartego sinus jest dodatni, a cosinus i tangens – ujemne. Przykłady:

sin 120° = sin(180° − 60°) = sin 60° = √3/2 cos 120° = −cos 60° = −1/2 cos 135° = −cos 45° = −√2/2 tg 150° = −tg 30° = −√3/3

Tożsamości sin²α + cos²α = 1 oraz tg α = sin α / cos α są prawdziwe także dla kątów rozwartych. Dla kąta prostego:

sin 90° = 1, cos 90° = 0

a tg 90° nie istnieje (dzielilibyśmy przez 0).

Przykład 2. Kąt α jest rozwarty i sin α = 4/5. Oblicz cos α oraz tg α.
  1. Z jedynki trygonometrycznej:cos²α = 1 − (4/5)²cos²α = 1 − 16/25 = 9/25
  2. Pierwiastkujemy – są dwie możliwości:cos α = 3/5 lub cos α = −3/5
  3. Kąt jest rozwarty, więc cosinus jest ujemny:cos α = −3/5
  4. Obliczamy tangens:tg α = (4/5) / (−3/5) = −4/3Tangens kąta rozwartego wyszedł ujemny – tak ma być.

Typowe błędy

  • Zgubiony minus przy cosinusie kąta rozwartego.cos 150° = −√3/2 (nie √3/2)
  • Zmiana znaku przy sinusie. Sinus kąta rozwartego jest dodatni:sin 150° = sin 30° = 1/2 (nie −1/2)

6 Pole trójkąta ze wzoru z sinusem

Gdy znasz dwa boki trójkąta i kąt między nimi, nie musisz szukać wysokości:

P = ½ · a · b · sin γ

Skąd to się bierze? Wysokość opuszczona na bok a ma długość:

h = b · sin γ

więc pole to ½ · a · h. Wzór działa też dla kąta rozwartego (wtedy sin γ = sin(180° − γ)). Jako wniosek dostajemy pole trójkąta równobocznego o boku a:

P = ½ · a · a · sin 60° = ½ · a² · √3/2 = a²√3/4

Na egzaminie: kąt γ musi leżeć między bokami a i b. Jeśli dany kąt leży naprzeciw jednego z tych boków, wzoru nie wolno użyć od razu.

Przykład 3. Dwa boki trójkąta mają długości 6 i 8, a kąt między nimi ma miarę 150°. Oblicz pole trójkąta.
  1. Zapisujemy wzór na pole:P = ½ · 6 · 8 · sin 150°
  2. Sprowadzamy sinus kąta rozwartego do kąta ostrego:sin 150° = sin(180° − 30°) = sin 30° = 1/2
  3. Podstawiamy:P = ½ · 6 · 8 · ½
  4. Liczymy:P = 48 / 4 = 12

7 Sprawdź się

Przećwicz na zadaniach z egzaminów

W banku są zadania CKE i warianty Matmoo z działu Trygonometria – z podpowiedziami i rozwiązaniami.

Powtórz dział „Trygonometria” (matura) Otwórz bank zadań