Układy równań
Dwie metody rozwiązywania, co układ oznacza na wykresie, kiedy nie ma rozwiązań, jak ułożyć układ z treści zadania i jak znaleźć punkty wspólne prostej i paraboli. Około 20 minut.
- Czym jest układ równań
- Metoda podstawiania
- Metoda przeciwnych współczynników
- Dwie proste – pobaw się
- Ile rozwiązań ma układ
- Zadania tekstowe
- Prosta i parabola
- Sprawdź się
1 Czym jest układ równań
Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi zapisujemy z klamrą:
Rozwiązaniem układu jest para liczb (x, y), która spełnia oba równania naraz. Sprawdźmy, czy para (2, 1) jest rozwiązaniem układu:
x + y = 32x − y = 3Wstawiamy x = 2 i y = 1 do pierwszego równania:
2 + 1 = 3 ✓i do drugiego:
2 · 2 − 1 = 3 ✓Oba równania są spełnione, więc para (2, 1) jest rozwiązaniem.
Uwaga na egzaminie: w zadaniach zamkniętych typu „Rozwiązaniem układu jest para…” nie musisz rozwiązywać układu – wystarczy wstawić podane pary do obu równań. Para, która spełnia tylko jedno równanie, nie jest rozwiązaniem.
2 Metoda podstawiania
Z jednego równania wyznaczamy jedną niewiadomą (najlepiej tę ze współczynnikiem 1 lub −1) i wstawiamy ją do drugiego równania. Zostaje równanie z jedną niewiadomą.
- Z drugiego równania wyznaczamy y (ma współczynnik −1):y = 3x − 7
- Wstawiamy to wyrażenie do pierwszego równania – w nawiasie:x + 2(3x − 7) = 7x + 6x − 14 = 7
- Rozwiązujemy równanie z jedną niewiadomą:7x = 21x = 3
- Obliczamy y z wyznaczonego wcześniej wzoru:y = 3 · 3 − 7 = 2
- Sprawdzenie w obu równaniach:3 + 2 · 2 = 7 ✓3 · 3 − 2 = 7 ✓Odpowiedź: x = 3, y = 2.
Typowy błąd: wstawienie wyrażenia bez nawiasu. Zapis 2 · 3x − 7 zamiast 2(3x − 7) gubi mnożenie −7 przez 2 i cały wynik jest zły.
3 Metoda przeciwnych współczynników
Mnożymy równania przez takie liczby, żeby przy jednej niewiadomej pojawiły się liczby przeciwne (np. 4 i −4). Po dodaniu równań stronami ta niewiadoma znika.
- Przy y mamy 2 i −4. Mnożymy obie strony pierwszego równania przez 2:6x + 4y = 145x − 4y = 19
- Dodajemy równania stronami – y się redukuje:11x = 33x = 3
- Wstawiamy x = 3 do pierwszego równania:3 · 3 + 2y = 72y = −2y = −1
- Sprawdzenie w drugim równaniu:5 · 3 − 4 · (−1) = 15 + 4 = 19 ✓Odpowiedź: x = 3, y = −1.
Typowy błąd: pomnożenie tylko lewej strony równania. Mnożysz całe równanie – prawą stronę też (tu 7 · 2 = 14).
Którą metodę wybrać? Gdy któraś niewiadoma ma współczynnik 1 lub −1 – podstawianie. Gdy wszystkie współczynniki są „niewygodne” – przeciwne współczynniki.
4 Dwie proste – pobaw się
Każde równanie liniowe z dwiema niewiadomymi to prosta. Po przekształceniu do postaci y = ax + b widać ją na wykresie. Rozwiązanie układu to punkt przecięcia prostych – jego współrzędne spełniają oba równania.
Ustaw suwakami dwie proste i zobacz, gdzie się przecinają.
5 Ile rozwiązań ma układ
Dwie proste na płaszczyźnie mogą się ułożyć tylko na trzy sposoby. Dla prostych y = a₁x + b₁ i y = a₂x + b₂:
proste przecinają się
układ oznaczony
jedno rozwiązanie
proste równoległe
układ sprzeczny
brak rozwiązań
proste pokrywają się
układ nieoznaczony
nieskończenie wiele rozwiązań
Przy rozwiązywaniu rachunkiem rozpoznasz to po tym, że znikają obie niewiadome. Weźmy układ:
x + y = 32x + 2y = 5Mnożymy pierwsze równanie przez −2 i dodajemy stronami:
−2x − 2y = −62x + 2y = 5 0 = −1Otrzymaliśmy fałsz, więc układ jest sprzeczny (to dwie proste równoległe). Gdyby po redukcji wyszło 0 = 0 (prawda), układ byłby nieoznaczony – oba równania opisują tę samą prostą.
Uwaga na egzaminie: „układ nieoznaczony” nie znaczy, że rozwiązaniem jest każda para liczb – rozwiązaniem jest każdy punkt jednej konkretnej prostej. Dla x + y = 3 i 2x + 2y = 6 pasuje (1, 2), ale już nie (1, 1).
6 Zadania tekstowe
Schemat jest zawsze ten sam:
- oznacz dwie szukane wielkości literami (i zapisz, co oznaczają, z jednostkami),
- każdą informację z treści zamień na jedno równanie,
- rozwiąż układ i odpowiedz na pytanie z zadania – pełnym zdaniem.
- Oznaczamy: x – liczba biletów normalnych, y – liczba biletów ulgowych. Z treści zadania:x + y = 4025x + 15y = 840
- Z pierwszego równania wyznaczamy y:y = 40 − x
- Wstawiamy do drugiego równania:25x + 15(40 − x) = 84025x + 600 − 15x = 84010x = 240x = 24
- Obliczamy y:y = 40 − 24 = 16Sprawdzenie:25 · 24 + 15 · 16 = 600 + 240 = 840 ✓
- Odpowiedź: sprzedano 24 bilety normalne i 16 biletów ulgowych.
Typowy błąd: odpowiedź „x = 24, y = 16” bez wyjaśnienia, co to znaczy. Na maturze w zadaniu otwartym zapisz, co oznaczają niewiadome, i odpowiedz na pytanie.
7 Prosta i parabola
Na poziomie podstawowym zdarza się układ, w którym jedno równanie jest kwadratowe – to punkty wspólne paraboli i prostej. Rozwiązujemy go podstawianiem: przyrównujemy prawe strony. Znajdźmy punkty wspólne wykresów:
y = x² − 1y = x + 1Przyrównujemy prawe strony:
x² − 1 = x + 1Przenosimy wszystko na lewą stronę:
x² − x − 2 = 0Liczymy wyróżnik:
Δ = (−1)² − 4 · 1 · (−2) = 1 + 8 = 9Pierwiastki równania:
x₁ = (1 − 3) / 2 = −1 x₂ = (1 + 3) / 2 = 2Drugie współrzędne obliczamy z równania prostej (tak jest prościej):
y₁ = −1 + 1 = 0 y₂ = 2 + 1 = 3Układ ma dwa rozwiązania: (−1, 0) oraz (2, 3).
- Δ > 0 – prosta przecina parabolę w dwóch punktach (dwa rozwiązania),
- Δ = 0 – prosta jest styczna do paraboli (jedno rozwiązanie),
- Δ < 0 – prosta i parabola nie mają punktów wspólnych (układ sprzeczny).
Typowy błąd: podanie w odpowiedzi samych x-ów. Rozwiązanie układu to pary (x, y) – każdemu x przypisz jego y.
8 Sprawdź się
Przećwicz na zadaniach z egzaminów
W banku są zadania CKE i warianty Matmoo z działu Układy równań – z podpowiedziami i rozwiązaniami.