Lekcja · matura podstawowa

Wyrażenia algebraiczne

Wzory skróconego mnożenia, rozkład na czynniki, wyrażenia wymierne i dowody typu „wykaż, że…”. Około 20 minut.

  1. Wzory skróconego mnożenia
  2. Wzory na obrazku – pobaw się
  3. Rozkład na czynniki
  4. Wyrażenia wymierne
  5. Dowody „wykaż, że”
  6. Typowe błędy
  7. Sprawdź się

1 Wzory skróconego mnożenia

To gotowe wyniki mnożenia, które pojawiają się tak często, że warto je znać na pamięć. Najważniejsze trzy:

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a − b)² = a² − 2ab + b²
a² − b² = (a − b)(a + b)

Każdy z nich można sprawdzić zwykłym mnożeniem nawiasów, na przykład:

(a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b²

Wzory działają w obie strony: od lewej do prawej rozwijamy (mnożymy), od prawej do lewej zwijamy (rozkładamy na czynniki).

(2x − 3)² = 4x² − 12x + 9 x² − 25 = (x − 5)(x + 5)

Wzory z sześcianami

Na maturze podstawowej obowiązują też wzory dla trzecich potęg (są w karcie wzorów CKE):

sześcian sumy(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
sześcian różnicy(a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³
suma sześcianówa³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
różnica sześcianówa³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)

Na przykład rozkład różnicy sześcianów:

x³ − 8 = x³ − 2³ = (x − 2)(x² + 2x + 4)

Uwaga na egzaminie: wzory są w karcie wzorów, ale w zadaniach zamkniętych liczy się czas – rozpoznawaj je od razu. Kiedy widzisz „kwadrat minus kwadrat” (np. 49 − x², 4x² − 9), myśl: różnica kwadratów.

2 Wzory na obrazku – pobaw się

Wzory skróconego mnożenia to po prostu pola prostokątów. Wybierz wzór, przesuwaj suwaki i porównaj obie strony równości.

3 Rozkład na czynniki

Rozłożyć wyrażenie na czynniki to zapisać je jako iloczyn. Przydaje się przy równaniach, skracaniu ułamków i dowodach. Są trzy sposoby – próbuj ich w tej kolejności:

  1. Wyłączenie wspólnego czynnika przed nawias:6x³ − 9x² = 3x²(2x − 3)
  2. Wzory skróconego mnożenia:x² − 10x + 25 = (x − 5)²9x² − 16 = (3x − 4)(3x + 4)
  3. Grupowanie wyrazów – gdy są cztery składniki, łączymy je w pary tak, żeby w obu parach wyszedł ten sam nawias:ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b)

Uwaga na egzaminie: rozkładaj „do końca”. Zapis x(x² − 4) to jeszcze nie koniec – nawias to różnica kwadratów, więc x³ − 4x = x(x − 2)(x + 2).

Przykład 1. Rozłóż na czynniki wyrażenie x³ − 2x² − 9x + 18.
  1. Brak wspólnego czynnika dla wszystkich wyrazów, więc grupujemy w pary:(x³ − 2x²) + (−9x + 18)
  2. Z pierwszej pary wyłączamy x², z drugiej −9:x²(x − 2) − 9(x − 2)
  3. Wyłączamy wspólny nawias (x − 2):(x − 2)(x² − 9)
  4. Drugi nawias to różnica kwadratów:(x − 2)(x − 3)(x + 3)Sprawdzenie dla x = 1 – przed rozkładem:1 − 2 − 9 + 18 = 8po rozkładzie:(−1) · (−2) · 4 = 8 ✓

4 Wyrażenia wymierne

Wyrażenie wymierne to iloraz dwóch wielomianów, np.

x + 1x² − 4

Dziedzina – wszystkie liczby, dla których mianownik jest różny od zera. Wyznaczamy ją zawsze na początku, zanim cokolwiek skrócimy.

x² − 4 ≠ 0 (x − 2)(x + 2) ≠ 0 x ≠ 2 i x ≠ −2, czyli D = ℝ \ {−2; 2}

Skracanie

Licznik i mianownik rozkładamy na czynniki i skracamy wspólne czynniki (nigdy pojedyncze składniki sumy).

Dodawanie i odejmowanie

Jak przy ułamkach zwykłych – sprowadzamy do wspólnego mianownika:

1x + 2x + 1 = x + 1x(x + 1) + 2xx(x + 1) = 3x + 1x(x + 1), dla x ≠ 0 i x ≠ −1

Mnożenie

Licznik razy licznik, mianownik razy mianownik – a przed wymnożeniem warto skrócić:

x + 2x − 1 · x² − 1x + 2 = (x + 2)(x − 1)(x + 1)(x − 1)(x + 2) = x + 1, dla x ≠ 1 i x ≠ −2
Przykład 2. Wyznacz dziedzinę i uprość wyrażenie x² − 9x² − 3x.
  1. Dziedzina – mianownik nie może być zerem:x² − 3x ≠ 0x(x − 3) ≠ 0x ≠ 0 i x ≠ 3
  2. Licznik rozkładamy ze wzoru na różnicę kwadratów:x² − 9 = (x − 3)(x + 3)
  3. Mianownik już rozłożyliśmy, więc skracamy wspólny czynnik (x − 3):(x − 3)(x + 3)x(x − 3) = x + 3x
  4. Wynik z dziedziną:x + 3x, dla x ∈ ℝ \ {0; 3}Sprawdzenie dla x = 1 – przed skróceniem:(1 − 9) : (1 − 3) = −8 : (−2) = 4po skróceniu:(1 + 3) : 1 = 4 ✓

5 Dowody „wykaż, że…”

Na maturze podstawowej zwykle trafia się jeden krótki dowód algebraiczny za 2 punkty. Najczęstsze schematy:

Nierówność – sprowadź do kwadratu

Przenosimy wszystko na jedną stronę i szukamy wzoru skróconego mnożenia. Kwadrat liczby rzeczywistej nigdy nie jest ujemny. Na przykład dla dowolnych a, b:

a² + b² ≥ 2ab a² − 2ab + b² ≥ 0 (a − b)² ≥ 0 ✓

Ostatnia nierówność jest prawdziwa, a przekształcenia były równoważne – więc prawdziwa jest też pierwsza.

Podzielność – wyłącz dzielnik przed nawias

Liczba jest podzielna przez k, gdy da się ją zapisać jako k · (liczba całkowita). Przydatne zapisy: liczba parzysta 2n, nieparzysta 2n + 1, kolejne liczby n, n + 1, n + 2. Na przykład kwadrat liczby nieparzystej pomniejszony o 1:

(2n + 1)² − 1 = 4n² + 4n + 1 − 1 = 4n(n + 1)

Z dwóch kolejnych liczb n i n + 1 jedna jest parzysta, więc n(n + 1) = 2k, a stąd:

(2n + 1)² − 1 = 4 · 2k = 8k

Zatem ta liczba jest zawsze podzielna przez 8 (sprawdź: 3² − 1 = 8, 5² − 1 = 24, 7² − 1 = 48).

Uwaga na egzaminie: sprawdzenie na kilku liczbach nie jest dowodem – trzeba przekształcić wyrażenie ogólnie. Zakończ zdaniem, co zostało wykazane (np. „co należało wykazać”).

Przykład 3. Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność x² + 10 > 6x.
  1. Przenosimy 6x na lewą stronę:x² − 6x + 10 > 0
  2. Szukamy kwadratu różnicy – potrzebujemy 9, więc zapisujemy 10 jako 9 + 1:x² − 6x + 9 + 1 > 0
  3. Zwijamy trzy pierwsze wyrazy ze wzoru (a − b)²:(x − 3)² + 1 > 0
  4. Wnioskujemy – kwadrat jest nieujemny, więc lewa strona jest co najmniej równa 1:(x − 3)² + 1 ≥ 0 + 1 = 1 > 0Nierówność jest prawdziwa dla każdego x, co należało wykazać.

6 Typowe błędy

Kwadrat sumy to nie suma kwadratów

(x + 3)² = x² + 9 (x + 3)² = x² + 6x + 9

Skracanie składnika zamiast czynnika

x + 63 = x + 2 3x + 63 = 3(x + 2)3 = x + 2

Minus przed nawiasem

−(x − 2)² = −x² − 4x + 4 −(x − 2)² = −(x² − 4x + 4) = −x² + 4x − 4

Dziedzina wyznaczona po skróceniu

x² − 1x − 1 = x + 1 dla x ∈ ℝ x² − 1x − 1 = x + 1 dla x ≠ 1

7 Sprawdź się

Przećwicz na zadaniach z egzaminów

W banku są zadania CKE i warianty Matmoo z działu Wyrażenia algebraiczne – z podpowiedziami i rozwiązaniami.

Powtórz dział „Wyrażenia algebraiczne” (matura) Otwórz bank zadań