Zadanie 13.2
Czas T półtrwania leku w organizmie to czas, po którym masa leku w organizmie zmniejsza się o połowę – po przyjęciu jednorazowej dawki.
Przyjmij, że po przyjęciu jednej dawki masa m leku w organizmie zmienia się w czasie zgodnie z zależnością wykładniczą
m(t) = m₀ · (1/2)^(t/T)
gdzie:
m₀ – masa przyjętej dawki leku
T – czas półtrwania leku
t – czas liczony od momentu przyjęcia dawki.
W przypadku przyjęcia kilku(nastu) dawek powyższa zależność pozwala obliczyć, ile leku pozostało w danym momencie w organizmie z każdej poprzednio przyjętej dawki. W ten sposób obliczone masy leku z przyjętych poprzednich dawek sumują się i dają informację o całkowitej aktualnej masie leku w organizmie.
Pacjent otrzymuje co 4 dni o tej samej godzinie dawkę m₀ = 100 mg leku L. Czas półtrwania tego leku w organizmie jest równy T = 4 doby.
Oblicz masę leku L w organizmie tego pacjenta tuż przed przyjęciem jedenastej dawki tego leku. Wynik podaj w zaokrągleniu do 0,1 mg.
Zapisz obliczenia.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie
Odpowiedź: Masa z pierwszej dawki tuż przed jedenastą (mg), w zaokrągleniu do 0,01 = 0.10; Całkowita masa (mg) = 99.9
Jedenastą dawkę pacjent przyjmuje 40 dni po pierwszej. Tuż przed nią z k-tej dawki (k = 1, …, 10) zostało 100 · (½)^(11 − k) mg:
z pierwszej 100 · (½)¹⁰ ≈ 0,10 mg, …, z dziesiątej 100 · ½ = 50 mg.
Suma to ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie 50 i ilorazie ½:
50 · (1 − (½)¹⁰)/(1 − ½) = 100 · (1 − 1/1024) ≈ 99,9 mg.
Ćwicz dalej: więcej zadań z działu „Funkcje” · cały arkusz na czas
Źródło: CKE, matura podstawowa, przykładowy arkusz 2023, zad. 13.2. Treść zadania – Centralna Komisja Egzaminacyjna; rozwiązanie – Matmoo.