Zadanie 33
Działka ma kształt trapezu. Podstawy AB i CD tego trapezu mają długości |AB| = 400 m oraz |CD| = 100 m. Wysokość trapezu jest równa 75 m, a jego kąty DAB i ABC są ostre.
Z działki postanowiono wydzielić plac w kształcie prostokąta z przeznaczeniem na parking. Dwa z wierzchołków tego prostokąta mają leżeć na podstawie AB tego trapezu, a dwa pozostałe – E oraz F – na ramionach AD i BC trapezu (zobacz rysunek).
Wyznacz długości boków prostokąta, dla których powierzchnia wydzielonego placu będzie największa. Wyznacz tę największą powierzchnię. Zapisz obliczenia.
Wskazówka: Aby powiązać ze sobą wymiary prostokąta, skorzystaj z tego, że pole trapezu ABCD jest sumą pól trapezów ABFE oraz EFCD:
P_ABCD = P_ABFE + P_EFCD
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie
Odpowiedź: Krótszy bok (wysokość prostokąta) x (m) = 50; Dłuższy bok EF (m) = 200; Największe pole (m²) = 10000
x – wysokość prostokąta, y = |EF|.
Pole trapezu ABCD = pole ABFE + pole EFCD:
(400 + 100)/2 · 75 = (400 + y)/2 · x + (100 + y)/2 · (75 − x)
Po przekształceniu: y = 400 − 4x.
Pole prostokąta: P(x) = x(400 − 4x), x ∈ (0, 75].
Miejsca zerowe 0 i 100, więc wierzchołek paraboli (ramiona w dół) w x = 50 ∈ (0, 75].
Wtedy y = 400 − 200 = 200.
Plac ma wymiary 50 m × 200 m i pole 10 000 m².
Ćwicz dalej: więcej zadań z działu „Funkcje” · cały arkusz na czas
Źródło: CKE, matura podstawowa, czerwiec 2023, zad. 33. Treść zadania – Centralna Komisja Egzaminacyjna; rozwiązanie – Matmoo.