Zadanie 32
Dany jest kwadrat ABCD o boku długości 4.
Rozważamy wszystkie trójkąty DEF spełniające jednocześnie następujące warunki:
• punkt E leży na boku AB kwadratu ABCD
• punkt F leży na boku BC kwadratu ABCD
• |CF| = ½ · |EB| = x, gdzie x ∈ (0, 2) (zobacz rysunek).
Niech P(x) oznacza pole trójkąta DEF w zależności od długości x odcinka CF.
Wyznacz wzór funkcji P zmiennej x, gdzie x ∈ (0, 2). Oblicz długość x odcinka CF, dla której pole trójkąta DEF jest najmniejsze. Zapisz obliczenia.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie
Odpowiedź: P(x) = x² + bx + c. b = -2; c = 8; x = 1
|CF| = x, |EB| = 2x, więc |AE| = 4 − 2x, |BF| = 4 − x.
Pole DEF = pole kwadratu − pola trzech trójkątów prostokątnych:
P(EBF) = ½ · 2x · (4 − x) = 4x − x², P(FCD) = ½ · 4 · x = 2x, P(DAE) = ½ · 4 · (4 − 2x) = 8 − 4x
P(x) = 16 − (4x − x² + 2x + 8 − 4x) = x² − 2x + 8
Parabola ma ramiona w górę, wierzchołek w p = 2/2 = 1 ∈ (0, 2).
Pole jest najmniejsze dla x = 1.
Ćwicz dalej: więcej zadań z działu „Funkcje” · cały arkusz na czas
Źródło: CKE, matura podstawowa, czerwiec 2026, zad. 32. Treść zadania – Centralna Komisja Egzaminacyjna; rozwiązanie – Matmoo.