Zadanie 31
Rozważamy wszystkie prostopadłościany ABCDEFGH, w których krawędź BC ma długość 4 oraz suma długości wszystkich krawędzi wychodzących z wierzchołka B jest równa 15 (zobacz rysunek).
Niech P(x) oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości x krawędzi AB.
Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji P. Oblicz długość x krawędzi AB tego z rozważanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest największe. Zapisz obliczenia.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie
Odpowiedź: P(x) = ax² + bx + c. a = -2; b = 22; c = 88; Dziedzina funkcji P = (0; 11); x = 11/2
|AB| = x, |BC| = 4. Suma krawędzi z wierzchołka B jest równa 15, więc |BF| = 15 − x − 4 = 11 − x.
P(x) = 2 · [4x + x(11 − x) + 4(11 − x)] = 2 · (−x² + 11x + 44) = −2x² + 22x + 88
Dziedzina: x > 0 i 11 − x > 0, czyli x ∈ (0, 11).
Parabola ma ramiona w dół, więc największa wartość jest w wierzchołku: p = −22/(2 · (−2)) = 11/2 ∈ (0, 11).
Największe pole ma prostopadłościan, w którym x = 11/2.
Ćwicz dalej: więcej zadań z działu „Funkcje” · cały arkusz na czas
Źródło: CKE, matura podstawowa, maj 2025, zad. 31. Treść zadania – Centralna Komisja Egzaminacyjna; rozwiązanie – Matmoo.