Zadanie 30
Rozważamy wszystkie prostopadłościany ABCDEFGH, w których krawędź AE jest 3 razy dłuższa od krawędzi AB, a suma długości wszystkich dwunastu krawędzi prostopadłościanu jest równa 48 (zobacz rysunek).
Niech P(x) oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości x krawędzi AB.
Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji P. Oblicz długość x krawędzi AB tego z rozważanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest największe. Zapisz obliczenia.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie
Odpowiedź: P(x) = ax² + bx. a = -26; b = 96; Dziedzina funkcji P = (0; 3); x = 24/13
|AB| = x, |AE| = 3x. Suma krawędzi: 4(|AB| + |AD| + |AE|) = 48, więc |AD| = 12 − 4x.
P(x) = 2 · [x(12 − 4x) + x · 3x + 3x(12 − 4x)] = 2 · (−13x² + 48x) = −26x² + 96x
Dziedzina: x > 0 i 12 − 4x > 0, czyli x ∈ (0, 3).
Parabola ma ramiona w dół, wierzchołek w p = −96/(2 · (−26)) = 24/13 ∈ (0, 3).
Pole jest największe dla x = 24/13.
Ćwicz dalej: więcej zadań z działu „Funkcje” · cały arkusz na czas
Źródło: CKE, matura podstawowa, próbna grudzień 2024, zad. 30. Treść zadania – Centralna Komisja Egzaminacyjna; rozwiązanie – Matmoo.