Zadanie 30
Rozważamy wszystkie walce, w których suma średnicy podstawy walca i wysokości walca jest równa 10.
Niech P(r) oznacza pole powierzchni bocznej takiego walca w zależności od promienia r podstawy walca.
Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji P zmiennej r.
Oblicz promień r podstawy tego z rozważanych walców, którego pole powierzchni bocznej jest największe. Zapisz obliczenia.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie
Odpowiedź: P(r) = aπr² + bπr. a = -4; b = 20; Dziedzina funkcji P = (0; 5); r = 5/2
2r + H = 10, więc H = 10 − 2r.
P(r) = 2πrH = 2πr(10 − 2r) = −4πr² + 20πr
Dziedzina: r > 0 i H = 10 − 2r > 0, czyli r ∈ (0, 5).
Parabola ma ramiona w dół, wierzchołek w p = −20π/(2 · (−4π)) = 5/2 ∈ (0, 5).
Pole powierzchni bocznej jest największe dla r = 5/2.
Ćwicz dalej: więcej zadań z działu „Funkcje” · cały arkusz na czas
Źródło: CKE, matura podstawowa, sierpień 2026, zad. 30. Treść zadania – Centralna Komisja Egzaminacyjna; rozwiązanie – Matmoo.