Zadanie 13
Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne ABCDEFGH, w których odcinek łączący punkt O przecięcia przekątnych AC i BD podstawy ABCD z dowolnym wierzchołkiem podstawy EFGH ma długość d (zobacz rysunek).
a) Wyznacz zależność objętości V graniastosłupa od jego wysokości h i podaj dziedzinę funkcji V(h).
b) Wyznacz wysokość tego z rozważanych graniastosłupów, którego objętość jest największa.
Zapisz obliczenia.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie
Odpowiedź: V(h) = αh³ + βd²h. α = -2; β = 2; Dziedzina to (0, k · d), k = 1; h = (√k/3) · d, k = 3
O – środek dolnej podstawy, D – wierzchołek dolnej podstawy, H – nad nim. Z tw. Pitagorasa w trójkącie ODH: |OD|² = d² − h².
|OD| = a√2/2, więc a² = 2(d² − h²), h ∈ (0, d).
V(h) = a² · h = 2(d² − h²)h = −2h³ + 2d²h.
V′(h) = 2(d² − 3h²) = 0 dla h = d/√3; V′ > 0 na (0, d/√3), V′ < 0 na (d/√3, d).
Największa objętość dla h = d/√3 = (√3/3) · d.
Źródło: CKE, matura rozszerzona, czerwiec 2023, zad. 13. Treść zadania – Centralna Komisja Egzaminacyjna; rozwiązanie – Matmoo.