Zadanie 12
Czworokąt wypukły ABCD jest wpisany w okrąg o promieniu 4. Kąty BAD i BCD są proste (zobacz rysunek). Przekątne AC i BD tego czworokąta przecinają się w punkcie E tak, że |BE| = 3 · |DE| oraz |BD| = 2 · |AE|.
Oblicz długości boków czworokąta ABCD. Zapisz obliczenia.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie
Odpowiedź: |AB|² = 40; |AD|² = 24; |BC|² = 54; |CD|² = 10
Kąty BAD i BCD są proste, więc BD jest średnicą: |BD| = 8. Stąd |DE| = 2, |BE| = 6, |AE| = 4.
S – środek okręgu (środek BD): |SE| = 2, |AS| = 4 = |AE|, więc trójkąt ASE jest równoramienny. P – spodek wysokości z A: |EP| = |PS| = 1, h² = 16 − 1 = 15.
|AB|² = h² + |PB|² = 15 + 25 = 40, |AD|² = h² + |PD|² = 15 + 9 = 24.
Trójkąty DEC i AEB są podobne (kąty wpisane na łuku AD, kąty wierzchołkowe): |CD|/|DE| = |AB|/|AE|, |CD| = 2 · 2√10/4 = √10, |CD|² = 10.
|BC|² = 64 − 10 = 54.
Ćwicz dalej: więcej zadań z działu „Planimetria” · cały arkusz na czas
Źródło: CKE, matura rozszerzona, czerwiec 2023, zad. 12. Treść zadania – Centralna Komisja Egzaminacyjna; rozwiązanie – Matmoo.