Zadanie 13.2
Rozważamy wszystkie ostrosłupy prawidłowe trójkątne, w których suma wysokości H ostrosłupa oraz promienia R okręgu opisanego na podstawie tego ostrosłupa jest równa 6.
Objętość V ostrosłupa w zależności od długości R promienia okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa jest określona wzorem
V(R) = √3/4 · (6R² − R³)
dla R ∈ (0, 6).
Wyznacz długość promienia okręgu opisanego na podstawie tego z rozważanych ostrosłupów, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość. Zapisz obliczenia.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie
Odpowiedź: R = 4; Największa objętość = k√3, k = 8
V′(R) = √3/4 · (12R − 3R²) = 3√3/4 · R(4 − R).
Na (0, 6): V′ > 0 dla R < 4, V′ < 0 dla R > 4 – największa objętość dla R = 4.
V(4) = √3/4 · (96 − 64) = 8√3
Źródło: CKE, matura rozszerzona, czerwiec 2024, zad. 13.2. Treść zadania – Centralna Komisja Egzaminacyjna; rozwiązanie – Matmoo.