Zadanie 12.2
Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o polu powierzchni całkowitej równym 24√3.
Objętość V graniastosłupa w zależności od długości a krawędzi podstawy jest określona wzorem
V(a) = 6a − (1/8)a³
dla a ∈ (0, 4√3).
Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozważanych graniastosłupów, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość. Zapisz obliczenia.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie
Odpowiedź: a = 4; Największa objętość = 16
V′(a) = 6 − (3/8)a² = 0 dla a = 4 (a = −4 poza dziedziną).
V′ > 0 na (0, 4), V′ < 0 na (4, 4√3), więc V rośnie, a potem maleje – największa wartość dla a = 4.
V(4) = 24 − 64/8 = 16
Źródło: CKE, matura rozszerzona, czerwiec 2025, zad. 12.2. Treść zadania – Centralna Komisja Egzaminacyjna; rozwiązanie – Matmoo.