Zadanie 11
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dany jest równoległobok ABCD o wierzchołkach A = (−8, −1) i D = (−13, 9) oraz środku symetrii M = (−9/2, 1).
Okrąg 𝒪 przechodzi przez początek tego układu i jest styczny do prostych zawierających boki AB i BC tego równoległoboku. Druga współrzędna środka okręgu 𝒪 jest liczbą ujemną.
Wyznacz równanie okręgu 𝒪. Zapisz obliczenia.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie
Odpowiedź: Okrąg (x − a)² + (y − b)² = r²: a = -1; b = -2; r² = 5
M jest środkiem przekątnych: B = 2M − D = (4, −7), C = 2M − A = (−1, 3).
Prosta BC: y = −2x + 1. Okrąg styczny do AB i BC ma środek S na dwusiecznej kąta ABC.
Na półprostej BC wybieramy E, by |BE| = |BA| = √180: E = (−2, 5). Trójkąt ABE jest równoramienny, więc dwusieczna przechodzi przez środek AE: F = (−5, 2).
Dwusieczna BF: y = −x − 3, więc S = (s, −s − 3).
Okrąg przechodzi przez (0, 0): r² = s² + (s + 3)². Promień to też odległość S od prostej BC (2x + y − 1 = 0): r² = (2s − s − 3 − 1)²/5 = (s − 4)²/5.
5(2s² + 6s + 9) = (s − 4)², czyli 9s² + 38s + 29 = 0: s = −1 lub s = −29/9.
Druga współrzędna S ma być ujemna: −s − 3 < 0, więc s > −3, zatem s = −1, S = (−1, −2), r² = 5.
(x + 1)² + (y + 2)² = 5
Ćwicz dalej: więcej zadań z działu „Geometria analityczna” · cały arkusz na czas
Źródło: CKE, matura rozszerzona, czerwiec 2025, zad. 11. Treść zadania – Centralna Komisja Egzaminacyjna; rozwiązanie – Matmoo.