Zadanie 13.2
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne ABC, w których C = (0, 0), wierzchołek B leży na dodatniej półosi Oy, wierzchołek A leży na dodatniej półosi Ox, natomiast bok AB jest zawarty w prostej przechodzącej przez punkt K = (1, 2).
Pole P trójkąta ABC w zależności od współczynnika kierunkowego a prostej AB jest określone wzorem
P(a) = (−a² + 4a − 4)/(2a)
dla a < 0.
Wyznacz równanie prostej zawierającej przeciwprostokątną AB tego z rozważanych trójkątów, który ma najmniejsze pole. Zapisz obliczenia.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie
Odpowiedź: Prosta AB y = ax + b: a = -2; b = 4
P′(a) = [(−2a + 4) · 2a − 2(−a² + 4a − 4)]/(4a²) = (−2a² + 8)/(4a²).
Dla a < 0: P′(a) = 0 dla a = −2; P′ < 0 na (−∞, −2), P′ > 0 na (−2, 0), więc najmniejsze pole dla a = −2.
Prosta przez K = (1, 2): y = −2(x − 1) + 2 = −2x + 4.
Źródło: CKE, matura rozszerzona, czerwiec 2026, zad. 13.2. Treść zadania – Centralna Komisja Egzaminacyjna; rozwiązanie – Matmoo.