Zadanie 12
Ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS o podstawie ABCD ma objętość równą 36√3. Ten ostrosłup przecięto płaszczyzną γ, która:
• jest prostopadła do ściany bocznej CDS ostrosłupa
• przechodzi przez środek K krawędzi AD oraz środek L krawędzi BC
• przecina krawędź boczną CS w punkcie M oraz krawędź boczną DS w punkcie N
• tworzy z płaszczyzną podstawy ABCD kąt o mierze 30°.
Przekrój KLMN wyznaczony przez płaszczyznę γ jest trapezem równoramiennym.
Oblicz pole trapezu KLMN. Zapisz obliczenia.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie
Odpowiedź: Krawędź podstawy = 6; Wysokość ostrosłupa = k√3, k = 3; |MN| = 9/2; Pole trapezu = k√3, k = 63/8
P – środek KL (środek podstawy), Q – środek CD, R – środek MN, a – krawędź podstawy, |PQ| = a/2.
Płaszczyzna tworzy z podstawą kąt 30° i jest prostopadła do ściany CDS, więc trójkąty PQR i PQS są prostokątne o kątach 30° i 60°:
|QR| = a/4, |PR| = a√3/4, |QS| = a, H = |PS| = a√3/2, |RS| = 3a/4.
V = 1/3 · a² · a√3/2 = 36√3, więc a³ = 216, a = 6.
Trójkąty NMS i DCS są podobne: |MN|/a = |RS|/|QS| = 3/4, |MN| = 9/2.
Wysokość trapezu |PR| = 6√3/4 = 3√3/2.
P = ½ · (6 + 9/2) · 3√3/2 = 63√3/8
Ćwicz dalej: więcej zadań z działu „Stereometria” · cały arkusz na czas
Źródło: CKE, matura rozszerzona, czerwiec 2026, zad. 12. Treść zadania – Centralna Komisja Egzaminacyjna; rozwiązanie – Matmoo.