Zadanie 13
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) prosta l o równaniu x − y − 2 = 0 przecina parabolę o równaniu y = 4x² − 7x + 1 w punktach A oraz B. Odcinek AB jest średnicą okręgu 𝒪. Punkt C leży na okręgu 𝒪 nad prostą l, a kąt BAC jest ostry i ma miarę α taką, że tg α = 1/3 (zobacz rysunek).
Oblicz współrzędne punktu C. Zapisz obliczenia.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie
Odpowiedź: Pierwsza współrzędna A = 1/2; Pierwsza współrzędna B = 3/2; Pierwsza współrzędna C = 11/10; Druga współrzędna C = -3/10
Punkty przecięcia: x − (4x² − 7x + 1) − 2 = 0, czyli 4x² − 8x + 3 = 0: x = 1/2 lub x = 3/2.
A = (1/2, −3/2), B = (3/2, −1/2).
Prosta l (y = x − 2) jest nachylona do osi Ox pod kątem 45°, a C leży nad nią, więc AC ma nachylenie α + 45°:
tg(α + 45°) = (1/3 + 1)/(1 − 1/3) = 2. AC: y = 2(x − 1/2) − 3/2.
AB jest średnicą, więc ∡ACB = 90°, BC ma współczynnik −1/2: y = −½(x − 3/2) − 1/2.
2x − 5/2 = −½x + 1/4, czyli 5/2 · x = 11/4, x = 11/10, y = 11/5 − 5/2 = −3/10.
C = (11/10, −3/10)
Ćwicz dalej: więcej zadań z działu „Geometria analityczna” · cały arkusz na czas
Źródło: CKE, matura rozszerzona, maj 2023, zad. 13. Treść zadania – Centralna Komisja Egzaminacyjna; rozwiązanie – Matmoo.