Zadanie 12.2

Matura rozszerzona maj 2023 · Optymalizacja i rachunek różniczkowy · 4 pkt

Funkcja f jest określona wzorem f(x) = 81^(log₃ x) + (2 · log₂ √27 · log₃ 2)/3 · x² − 6x dla każdej liczby dodatniej x.

Oblicz najmniejszą wartość funkcji f określonej dla każdej liczby dodatniej x. Zapisz obliczenia.

Wskazówka: przyjmij, że wzór funkcji f można przedstawić w postaci f(x) = x⁴ + x² − 6x.

Rozwiąż i sprawdź odpowiedź

Pokaż odpowiedź i rozwiązanie

Odpowiedź: Argument, dla którego f′(x) = 0: x = 1; Najmniejsza wartość = -4

f′(x) = 4x³ + 2x − 6 = 4(x³ − 1) + 2(x − 1) = (x − 1)(4x² + 4x + 6).
4x² + 4x + 6 > 0, więc dla x > 0: f′ < 0 na (0, 1), f′ > 0 na (1, +∞).
Najmniejsza wartość: f(1) = 1 + 1 − 6 = −4.

Ćwicz dalej: więcej zadań z działu „Optymalizacja i rachunek różniczkowy” · cały arkusz na czas

Źródło: CKE, matura rozszerzona, maj 2023, zad. 12.2. Treść zadania – Centralna Komisja Egzaminacyjna; rozwiązanie – Matmoo.