Zadanie 13.2
Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości 3456, których krawędź podstawy ma długość nie większą niż 8√3.
Pole P powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości a krawędzi podstawy graniastosłupa jest określone wzorem
P(a) = a² · √3/2 + 13824√3/a
dla a ∈ (0, 8√3].
Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozważanych graniastosłupów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole. Zapisz obliczenia.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie
Odpowiedź: Miejsce zerowe pochodnej P′(a) = 24; a = k√3, k = 8; Najmniejsze pole = 96√3 + c, c = 1728
P′(a) = a√3 − 13 824√3/a² = √3(a³ − 13 824)/a².
P′(a) = 0 dla a = 24, ale 24 > 8√3 ≈ 13,9 – poza dziedziną. Na całym (0, 8√3] P′ < 0, więc P maleje.
Najmniejsze pole dla a = 8√3: P = 192√3/2 + 13 824√3/(8√3) = 96√3 + 1728.
Źródło: CKE, matura rozszerzona, maj 2024, zad. 13.2. Treść zadania – Centralna Komisja Egzaminacyjna; rozwiązanie – Matmoo.