Zadanie 12
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie
x² − (3m + 1) · x + 2m² + m + 1 = 0
ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x₁, x₂ spełniające warunek
x₁³ + x₂³ + 3 · x₁ · x₂ · (x₁ + x₂ − 3) ≤ 3m − 7
Zapisz obliczenia.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie
Odpowiedź: Z warunku Δ > 0: m ∈ = (−∞; −3) ∪ (1; +∞); Z warunku x₁³ + x₂³ + 3 · x₁ · x₂ · (x₁ + x₂ − 3) ≤ 3m − 7: m ∈ = (−∞; 1/3]; Odpowiedź: m ∈ = (−∞; −3)
Δ = (3m + 1)² − 4(2m² + m + 1) = m² + 2m − 3 = (m + 3)(m − 1) > 0: m ∈ (−∞, −3) ∪ (1, +∞).
Lewa strona warunku: x₁³ + x₂³ + 3x₁x₂(x₁ + x₂) − 9x₁x₂ = (x₁ + x₂)³ − 9x₁x₂.
Wzory Viète'a: (3m + 1)³ − 9(2m² + m + 1) ≤ 3m − 7
27m³ + 27m² + 9m + 1 − 18m² − 9m − 9 − 3m + 7 ≤ 0
27m³ + 9m² − 3m − 1 ≤ 0
(3m + 1)(9m² − 1) = (3m + 1)²(3m − 1) ≤ 0, czyli m ≤ 1/3.
Część wspólna: m ∈ (−∞, −3).
Źródło: CKE, matura rozszerzona, maj 2024, zad. 12. Treść zadania – Centralna Komisja Egzaminacyjna; rozwiązanie – Matmoo.