Zadanie 12.2
Rozważamy wszystkie stożki, których wysokość jest większa od 5, a odległość środka podstawy od tworzącej jest równa 5.
Objętość V stożka, jako funkcja wysokości h stożka, wyraża się wzorem
V(h) = (π/3) · 25h³/(h² − 25)
dla h ∈ (5, +∞).
Wyznacz wysokość tego z rozważanych stożków, którego objętość jest najmniejsza. Oblicz tę najmniejszą objętość. Zapisz obliczenia.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie
Odpowiedź: h = k√3, k = 5; V = c · √3 · π, c = 125/2
V′(h) = (π/3) · [75h²(h² − 25) − 25h³ · 2h]/(h² − 25)² = (π/3) · 25h²(h² − 75)/(h² − 25)².
Dla h ∈ (5, +∞): V′(h) = 0 tylko dla h = 5√3; V′ < 0 na (5, 5√3), V′ > 0 na (5√3, +∞).
V maleje, a potem rośnie, więc najmniejsza wartość jest dla h = 5√3:
V(5√3) = (π/3) · 25 · 375√3/(75 − 25) = (π/3) · 25 · 375√3/50 = 125√3π/2.
Źródło: CKE, matura rozszerzona, maj 2025, zad. 12.2. Treść zadania – Centralna Komisja Egzaminacyjna; rozwiązanie – Matmoo.