Zadanie 11
Funkcja f jest określona wzorem
f(x) = (2 − m)x² − 2(2m + 1)x + m + 8
dla każdej liczby rzeczywistej x, gdzie m jest liczbą rzeczywistą różną od 2.
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których funkcja f ma dokładnie dwa miejsca zerowe x₁ oraz x₂ tego samego znaku, które spełniają warunek
(x₁ − x₂)² ≤ 180
Zapisz obliczenia.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie
Odpowiedź: Z warunku Δ > 0: m ∈ = (−∞; −3) ∪ (1; +∞); Z warunku x₁x₂ > 0 (miejsca zerowe tego samego znaku): m ∈ = (−8; 2); Z warunku (x₁ − x₂)² ≤ 180: m ∈ = (−∞; 3/2] ∪ [13/4; +∞); Odpowiedź: m ∈ = (−8; −3) ∪ (1; 3/2]
a = 2 − m, b = −2(2m + 1), c = m + 8.
1) Dwa miejsca zerowe: Δ = 4(2m + 1)² − 4(2 − m)(m + 8) = 20(m² + 2m − 3) = 20(m + 3)(m − 1) > 0, czyli m ∈ (−∞, −3) ∪ (1, +∞).
2) Ten sam znak: x₁x₂ = c/a = (m + 8)/(2 − m) > 0, czyli m ∈ (−8, 2).
3) (x₁ − x₂)² = Δ/a² = 20(m + 3)(m − 1)/(2 − m)² ≤ 180
(m + 3)(m − 1) ≤ 9(m − 2)²
m² + 2m − 3 ≤ 9m² − 36m + 36
8m² − 38m + 39 ≥ 0, pierwiastki 3/2 i 13/4: m ∈ (−∞, 3/2] ∪ [13/4, +∞).
Część wspólna (i m ≠ 2): m ∈ (−8, −3) ∪ (1, 3/2].
Źródło: CKE, matura rozszerzona, maj 2025, zad. 11. Treść zadania – Centralna Komisja Egzaminacyjna; rozwiązanie – Matmoo.