Zadanie 12.2
Pole P trójkątnego kwietnika o podstawie długości x metrów jest określone wzorem
P(x) = 2x³/(x² − 16)
dla każdego x ∈ (4, 10].
Wyznacz długość x podstawy trójkątnego kwietnika, dla której pole tego kwietnika jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole. Zapisz obliczenia.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie
Odpowiedź: x = k√3, k = 4; Najmniejsze pole = k√3, k = 12
P′(x) = [6x²(x² − 16) − 2x³ · 2x]/(x² − 16)² = 2x²(x² − 48)/(x² − 16)².
W (4, 10] P′(x) = 0 tylko dla x = 4√3; P′ < 0 na (4, 4√3), P′ > 0 na (4√3, 10].
Najmniejsze pole dla x = 4√3: P = 2 · 192√3/(48 − 16) = 384√3/32 = 12√3.
Źródło: CKE, matura rozszerzona, maj 2026, zad. 12.2. Treść zadania – Centralna Komisja Egzaminacyjna; rozwiązanie – Matmoo.