Zadanie 11
W czworokącie ABCD są dane: |AB| = 9, |AD| = 10 oraz |∡BAD| = 60°. W ten czworokąt wpisano okrąg oraz na tym czworokącie opisano okrąg (zobacz rysunek).
Oblicz długości boków BC i CD oraz pole czworokąta ABCD. Zapisz obliczenia.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie
Odpowiedź: |BD|² = 91; |BC| = 5; |CD| = 6; Pole = k√3, k = 30
x = |BC|, y = |CD|, d = |BD|.
Czworokąt wpisany w okrąg: ∡BCD = 180° − 60° = 120°.
Czworokąt opisany na okręgu: |AB| + |CD| = |AD| + |BC|, więc y = x + 1.
d² = 81 + 100 − 90 = 91 (tw. cosinusów w ABD).
d² = x² + y² + xy (tw. cosinusów w BCD, cos 120° = −½):
x² + (x + 1)² + x(x + 1) = 91, czyli x² + x − 30 = 0, x = 5.
|BC| = 5, |CD| = 6.
P = ½ · 9 · 10 · sin 60° + ½ · 5 · 6 · sin 120° = (45 + 15) · √3/2 = 30√3
Ćwicz dalej: więcej zadań z działu „Planimetria” · cały arkusz na czas
Źródło: CKE, matura rozszerzona, maj 2026, zad. 11. Treść zadania – Centralna Komisja Egzaminacyjna; rozwiązanie – Matmoo.