Zadanie 12
Prosta k o równaniu x + y − 9 = 0 przecina parabolę o równaniu y = (1/4)x² − (3/2)x + 1/4 w punktach A oraz B. Pierwsza współrzędna punktu A jest liczbą dodatnią; pierwsza współrzędna punktu B jest liczbą ujemną. Prosta l jest równoległa do prostej k i styczna do danej paraboli w punkcie C.
Oblicz odległość punktu C od prostej k oraz pole trójkąta ABC.
Zapisz obliczenia.
Pokaż odpowiedź i rozwiązanie
Odpowiedź: Pierwsza współrzędna C = 1; Odległość = k√2, k = 9/2; Pole ABC = 54
−x + 9 = ¼x² − 3/2 · x + ¼, czyli x² − 2x − 35 = 0: x = 7 lub x = −5. A = (7, 2), B = (−5, 14).
Styczna równoległa do k ma współczynnik −1: y′ = ½x − 3/2 = −1, x = 1, C = (1, −1).
Odległość C od k: |1 − 1 − 9|/√2 = 9/√2 = 9√2/2.
|AB| = √(144 + 144) = 12√2, P = ½ · 12√2 · 9/√2 = 54.
Ćwicz dalej: więcej zadań z działu „Geometria analityczna” · cały arkusz na czas
Źródło: CKE, matura rozszerzona, próbna grudzień 2022, zad. 12. Treść zadania – Centralna Komisja Egzaminacyjna; rozwiązanie – Matmoo.